Wyznacznik - Polski Serwis Naukowy

Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej $M$ , o współczynnikach z pierścienia przemiennego $R$ (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem $\det M$ ), która spełnia następujące warunki:

wartością tej funkcji na macierzy 1x1 $[a]$ jest $a$ ,
jeśli
$M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$
jest macierzą kwadratową stopnia $n>1$ , to wartość tej funkcji dla macierzy $M$ równa się $\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{i, j}$ , gdzie $j$ jest dowolną liczbą naturalną z zakresu $1\leqslant j\leqslant n$ , a przez $M_{i,j}$ oznaczamy macierz stopnia $n-1$ , powstałą z macierzy $M$ poprzez skreślenie $i$ -tego wiersza i $j$ -tej kolumny (por. minor).

Funkcja o powyższych własnościach wyznaczona jest jednoznacznie. Wyznacznikiem macierzy $M$ nazywamy wartość $\det M$ tej funkcji dla macierzy $M$ .

Macierz trójkątna to macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero. Należy zauważyć, że kwadratowa macierz schodkowa jest zawsze macierzą trójkątną.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Wyznacznik można również traktować jako funkcję, nie samej macierzy, a jej współczynników $a_{11}, \ldots, a_{1n},\ldots, a_{n1}, \ldots a_{nn}$ .

Jest on wówczas wielomianem n zmiennych o współczynnikach z $R$ .

Zapis

Wyznacznik macierzy kwadratowej $M$ oznaczany jest czasami przez $|M|$ . Ta notacja może jednak prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy lub wartości bezwzględnej. Zapis z użyciem pionowych kresek jest jednak szeroko rozpowszechniony w matematyce.

Dla macierzy

Twierdzenie Hurwitza – twierdzenie dotyczące własności pierwiastków zespolonych pewnych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Jego autorem jest niemiecki matematyk Adolf Hurwitz.
Przekształcenie wieloliniowe - odwzorowanie produktu przestrzeni liniowych, które jest liniowe ze względu na każdą zmienną. Odwzorowanie w ciało nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny nazywa się formami wieloliniowymi.

$M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

wprowadzamy oznaczenie $|M|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|$ .

Rozwinięcie Laplace'a

Osobny artykuł: Rozwinięcie Laplace'a.

Istnieje jeszcze jeden (równoważny) sposób wprowadzenia pojęcia wyznacznika (zob. definicja permutacyjna poniżej), jednak tak wprowadzona definicja (tzw. definicja rekurencyjna wyznacznika) ukazuje efektywną metodę obliczania wyznaczników macierzy kwadratowych wyższych stopni. W szczególności, prawdziwe jest następujące twierdzenie Laplace'a:

Metoda (eliminacji) Gaussa – jedna z najszybszych metod rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika. Metoda Gaussa używa operacji elementarnych. Nazwa metody pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Jeżeli $M$ jest macierzą taką jak wyżej oraz $i$ jest liczbą naturalną nie większą niż $n$ , to zachodzą równości $|M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{il}|M_{i,l}|$ . (rozwinięcie wyznacznika względem i-tego wiersza)

oraz $|M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{li}|M_{l,i}|$ . (rozwinięcie wyznacznika względem i-tej kolumny).

Definicja permutacyjna

Jeżeli $M$ jest macierzą taką, jak wyżej, to $\det M=\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)}$ ,

gdzie $S_n$ oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru $\{1, 2, \cdots, n\}$ , zaś $\rm{Inv}(\sigma)$ oznacza liczbę inwersji danej permutacji $\sigma \in S_n$ .

Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.
Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Przykładowo składnik $a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}$ w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów $\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}$ ,

ma trzy inwersje, mianowicie: $(3,1)$ , $(3,2)$ i $(4,2)$ , skąd $\rm{Inv}(\tau)=3$ oraz $(-1)^3=-1$ .

Wyznacznik ogólny

Wyznacznikiem ogólnym z parametrem p nazywamy: $\det_p M=\sum_{\sigma \in S_n} (p)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)}$ ,

gdzie $M$ , $S_n$ , $\rm{Inv}(\sigma)$ jak wyżej.

Przykładowo dla $p=-1$ otrzymujemy wyznacznik, zaś dla $p=1$ otrzymujemy permanent.

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.
Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)