Wyznacznik Slatera - Polski Serwis Naukowy

Wyznacznik Slatera jest funkcją falową opisującą w przybliżeniu stan układu N fermionów.

Niech $\psi_{i}(\alpha_{j})$ będzie i-tą funkcją falową opisującą j-tą cząstkę. Wtedy funkcja falowa układu ma postać: $\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N}) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \psi_{1}(\alpha_{1}) && \psi_{1}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{1}(\alpha_{N})\\ \psi_{2}(\alpha_{1}) && \psi_{2}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{2}(\alpha_{N})\\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots\\ \psi_{N}(\alpha_{1}) && \psi_{N}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{N}(\alpha_{N})\\ \end{matrix} \right|$

Powyższy zapis nazywamy właśnie wyznacznikiem Slatera.

Wyprowadzenie

Najprostsza funkcja falowa dla dwóch cząstek to iloczyn funkcji jednocząstkowych:

Rozkład Fermiego-Diraca – opisuje sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym, np. w atomie. Rozkład Fermiego-Diraca jest wersją rozkładu Boltzmanna dla fermionów – w tym wypadku elektronów – które obowiązuje zakaz Pauliego.

Metoda Hartree-Focka, metoda pola samouzgodnionego – jedna z metod przybliżonego rozwiązywania problemów wielu ciał w mechanice kwantowej wielu cząstek.

$\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2})=\psi_{1}(\alpha_{1})\psi_{2}(\alpha_{2})\,$

Jednak taka funkcja nie jest prawidłową funkcją falową dla fermionów, bo nie jest antysymetryczna, tzn. nie spełnia $\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2})=-\psi(\alpha_{2}, \alpha_{1}) \,$

To oznacza, że funkcja w postaci iloczynowej nie jest zgodna z regułą Pauliego. Prawidłowa funkcja dwucząstkowa ma postać: $\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\{\psi_{1}(\alpha_{1})\psi_{2}(\alpha_{2}) - \psi_{2}(\alpha_{1})\psi_{1}(\alpha_{2})\}$

Ta funkcja jest antysymetryczna, a kiedy obie funkcje jednocząstkowe są takie same, jest równa zero. Oznacza to, że jest zgodna z regułą Pauliego.

Uogólnienie

Uogólniając to rozumowanie dla dowolnej liczby fermionów, otrzymujemy funkcję, którą da się zapisać w postaci wyznacznika. Widać, że ma ona wymagane własności: jest całkowicie antysymetryczna i znika, gdy dwie funkcje falowe są takie same (bo wtedy otrzymujemy dwie takie same kolumny w wyznaczniku co oznacza, że automatycznie przyjmuje on zerową wartość). Dzięki temu, że na tej drodze eliminowane są wszystkie funkcje symetryczne względem permutacji pary elektronów reguła Pauliego nie jest łamana. W ogólności wyznacznik Slatera jest definiowany jako antysymetryczny tensor wyznaczany przy pomocy rozwinięcia Laplace'a

Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Nazwa tej funkcji pochodzi od nazwiska amerykańskiego fizyka Johna C. Slatera (1900-1976).

Pojedynczą funkcję falową w postaci wyznacznika Slatera stosuje się w metodzie obliczeniowej Hartree-Focka. W bardziej zaawansowanych metodach obliczeniowych konieczne jest wykorzystanie kombinacji liniowej wyznaczników Slatera.

Zapoznaj się również z:

statystyka Fermiego-Diraca

rozkład Fermiego-Diraca