Wzór trapezów - Polski Serwis Naukowy

Wzór trapezów – jeden z wielu wzorów służących do przybliżonego obliczania całek oznaczonych w sensie Riemanna. Idea wzoru opiera się na geometrycznej interpretacji całki oznaczonej z funkcji nieujemnej jako pola pod wykresem funkcji.

Jeżeli przedział całkowania [a, b] podzielony zostanie punktami x1, x2, ..., xn-1 na n równych części o długościach (b-a)/n, i w figurę ograniczoną na prostymi x = a, x = b, osią odciętych oraz wykresem funkcji y = f(x) wpiszemy trapezy jak pokazano na rysunku poniżej,

to pola kolejnych trapezów wynoszą:

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Trapez – czworokąt mający parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion; odległość między podstawami to wysokość. Niektórzy autorzy definiują trapez jako czworokąt posiadający tylko jedną parę boków równoległych, tzn. uważają, że równoległobok nie jest trapezem.

$\frac{b-a}{n}\cdot\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2},\ \frac{b-a}{n}\cdot\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},\ \dots, \frac{b-a}{n}\cdot\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}$

gdzie dla jednolitości oznaczono a = x0 i b = xn.

Suma pól trapezów jest w przybliżeniu równa polu całego obszaru, czyli:

$\int\limits_a^b f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{{2}{n}}\left(f(x_0)+f(x_n)+f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})\right)$ .

Ten właśnie wzór nazywany jest wzorem trapezów.

W przypadku funkcji ciągłej na przedziale [a, b], wzór trapezów pozwala obliczać jej całkę oznaczoną na tym przedziale z dowolną dokładnością, wystarczy w tym celu wziąć za n odpowiednio dużą liczbę. Błąd przybliżenia daje się oszacować w przypadku funkcji, która ma na przedziale [a, b] ciągłą drugą pochodną:

Całka Riemanna to jedno z podstawowych pojęć w analizie matematycznej. Była ona wprowadzona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna jako pierwsza ścisła definicja całki.

$|R_n|\le\left|\frac{(b-a)^3}{12n^2}K\right|$

gdzie K oznacza największą wartość funkcji |f ′′(x)| w przedziale [a, b].

Obecnie wzór trapezów ma znaczenie wyłącznie historyczne – dostępne programy do całkowania numerycznego stosują o wiele dokładniejsze metody i pozwalają uniknąć czasochłonnych rachunków.

Zobacz też

wzór prostokątów

wzór parabol Simpsona