Zasada zachowania momentu pędu - Polski Serwis Naukowy

Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w fizyce. Treść zasady: Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.

W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco: Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

co można zapisać wzorem

Pulsar milisekundowy to pulsar o okresie rotacji typowo 1-10 milisekund. Pulsary milisekundowe różnią się od zwykłych pulsarów radiowych tym, że ich ogromna prędkość rotacji nie wynika z młodego wieku, ale z epizodu "rozkręcenia" przepływem masy z towarzysza w układzie podwójnym w procesie nazywanym czasem "recyclingiem". Pulsary milisekundowe są starymi gwiazdami neutronowymi, występują szczególnie licznie w gromadach kulistych tj. wśród starych gwiazd populacji II.

Prawa zachowania – prawa fizyki stwierdzające, że w układach fizycznych izolowanych od otoczenia określone wielkości fizyczne pozostają stałe. Istnieją zarówno zasady zachowania obowiązujące bezwzględnie, jak i zasady zachowania słuszne tylko dla niektórych procesów.

$\vec{L}=\operatorname{const}$

lub $\frac{\operatorname{d}\vec{L}}{\operatorname{d}t}=0$

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły M $\frac{\operatorname{d}\vec{L}}{\operatorname{d}t}=M$

Konsekwencje

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu $\vec{L}=I\vec{\omega }$

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa ω rośnie, gdy maleje moment bezwładności I.

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.

Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:

Gwiazda neutronowa - to jeden z końcowych etapów ewolucji gwiazd. Jest to obiekt astronomiczny o stosunkowo niedużych rozmiarach, ale o bardzo dużej gęstości. Przy średnicy 10–15 km ma masę od 1,4 do 2,5 mas Słońca. Tak duża gęstość wynika z gęstości upakowania neutronów i obiekt taki mógłby być nawet interpretowany jako ogromne jądro atomowe (1057 barionów) utrzymywane w równowadze przez siły grawitacyjne.

Dowód poprawności

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Moment pędu układu N cząstek można zapisać $\vec{L} = \sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times (m_i \dot{\vec{r_i}})$

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie otrzymujemy $\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum _{i=1} ^{N} \dot{\vec{r_i}} \times (m_i \dot{\vec{r_i}}) + \sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times (m_i \ddot{\vec{r_i}})$

Ponieważ iloczyn wektorowy $\dot{\vec{r_i}} \times \dot{\vec{r_i}}=0$ oraz $m_i \ddot{\vec{r_i}} = \vec {F_i}$ , to pozostaje tylko obliczyć iloczyn $\vec{r_i} \times \vec{F_i}$

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony $\vec{F}_{ij}$ ) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową.

W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

$\sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times \vec {F_i} = \sum _{i=1} ^{N} ( \vec{r_i} \times ( \sum _{i \neq j} ^{N} \vec{F_{ij}} + \vec{F_i}' ) ) = \sum _{i=1} ^{N} \vec{r} _i \times \vec{F} _i '$

Ponieważ $\vec{F_{ij}} = -\vec{F_{ji}}$

to $\vec{r_i} \times \vec{F_{ij}} = -\vec{r_j} \times \vec{F_{ji}}$

a dla każdej siły $\vec{F_{ij}}$

występuje siła $\vec{F_{ji}}$

Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem $\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times \vec{F_i}'$

Jeżeli układ jest odosobniony, to $\vec{F} _i ' = 0$

czyli $\vec{L}=\text{const}$