Zbiór - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia pierwotnego matematyki. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego słowa.

Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) – obiekt matematyczny ze zdefiniowaną funkcją przynależności (zwaną też funkcją charakterystyczną zbioru rozmytego), która przybiera wartości z przedziału [0, 1]. Teoria zbiorów rozmytych została wprowadzona przez Lotfi A. Zadeha w 1965 r. jako rozszerzenie klasycznej teorii zbiorów.
Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Wprowadzenie

Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe nazywane jego elementami (tzn. istnieje tylko jeden zbiór złożony z zadanych elementów), przy czym każdy element może należeć do danego zbioru bądź nie (tzn. element nie może należeć do zbioru np. „dwukrotnie”). Pojęcie zbioru ma charakter dystrybutywny, a nie kolektywny: Mars jest elementem zbioru planet Układu Słonecznego, lecz jakikolwiek element tej planety, np. leżąca na niej skała, nie jest już elementem wspomnianego zbioru planet (dystrybutywność); nadwozie jest elementem zbioru części samochodu, przy czym wycieraczka jest elementem nadwozia, a więc jest elementem samochodu (kolektywność).

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Suma rozłączna - w teorii mnogości zmodyfikowana operacja sumy, w której zachowana została informacja o tym, z którego zbioru pochodzi każdy element.

W tzw. naiwnej (tj. niezaksjomatyzowanej) teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją $\scriptstyle \in$ należenia lub przynależności do zbioru oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego $\scriptstyle \epsilon$ (dla odróżnienia w matematyce korzysta się z innego jej wariantu typograficznego, $\scriptstyle \varepsilon$ ); przykładowo należenie elementu $\scriptstyle a$ do zbioru $\scriptstyle A$ zapisuje się zwykle $\scriptstyle a \in A,$ zaś zaprzeczenie tego zdania („element $\scriptstyle a$ nie należy do zbioru $\scriptstyle A$ ”) uzyskuje się poprzez przekreślenie znaku relacji należenia: $\scriptstyle a \notin A$ .

Nadwozie to część składowa pojazdu, ustawiona na podwoziu lub służąca do montażu jego elementów. Nadwozie składa się ze struktury nośnej i karoserii (poszycia). Pod względem struktury nośnej pojazdy dzielimy na konstrukcje ramowe (nadwozie nieniosące) i samonośne (samoniosące; bezramowe). Istnieją też konstrukcje pośrednie - nadwozie półniosące oraz samonośne z ramami częściowymi.
Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Elementy danego zbioru zwykło się zapisywać w nawiasach klamrowych; przykładowo zbiór składający się z czterech elementów $\scriptstyle \bigstar, 3, \spadesuit, \P$ zapisuje się zwykle symbolicznie w postaci $\{\bigstar, 3, \spadesuit, \P\};$

jest to jedyny zbiór składający się z tych elementów, co oznacza, że napisy $\scriptstyle \{3, \bigstar, \spadesuit, \P\},$ czy $\scriptstyle \{\P, \bigstar, 3, \spadesuit\}$ (kolejność podawania elementów nie ma znaczenia), bądź $\scriptstyle \{\bigstar, \P, 3, \bigstar, \spadesuit, \spadesuit\}$ (wielokrotne wymienienie tego samego elementu niczego nie przydaje) oznaczają ten sam zbiór. Poniekąd najprostszym, choć dość nieintuicyjnym zbiorem jest zbiór nie zawierający żadnego elementu, tzw. zbiór pusty $\scriptstyle \{\}$ oznaczany zwykle symbolem $\scriptstyle \varnothing.$ Elementami zbiorów mogą być również inne zbiory – zbiory złożone ze zbiorów nazywa się zwykle rodzinami (zbiorów). Należy wyraźnie zaznaczyć, że zbiór $\scriptstyle \varnothing$ nie ma elementów, podczas gdy do zbioru $\scriptstyle \{\varnothing\}$ należy jeden element: zbiór pusty $\scriptstyle \varnothing$ (jest to więc jednoelementowa rodzina zbiorów złożona ze zbioru pustego).

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).
Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.

Nie ma żadnego ograniczenia nałożonego na liczebność zbiorów, nazywaną ich mocą – moc zbioru $\scriptstyle A$ oznaczana będzie dalej symbolem $\scriptstyle \#A$ – wyróżnia się nawet różne hierarchie wielkości zbiorów związane z ich licznością (np. skala alefów, czy skala betów). Najprostszy podział przebiega ze względu na możliwość wymienienia wszystkich elementów: w skończonym (choć być może bardzo długim) czasie – zbiory skończone, w przeciwnym przypadku nazywa się je nieskończonymi; w nieskończonym czasie – zbiory przeliczalne, w przypadku braku takiej możliwości mówi się o zbiorach nieprzeliczalnych.

Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.
Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)