Zbiór Bernsteina - Polski Serwis Naukowy

Zbiór Bernsteina - w topologii i opisowej teorii mnogości podzbiór przestrzeni polskiej, który jest w pewnym sensie bardzo nieregularny. Zbiór Bernsteina, jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przykładem zbioru niemierzalnego (w sensie Lebesgue'a). Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka, Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Definicja

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Powiemy, że podzbiór $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina w $X$ jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X$ spełnione są warunki

$B\cap Z\neq \varnothing$

$B\setminus Z\neq \varnothing$ .

Własności

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską oraz niech $Z\subseteq X$ . Wówczas następujące warunki są równoważne:

$Z$ jest zbiorem Bernsteina,

ani $Z$ ani $X\setminus Z$ nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru $X$ ,

zarówno $Z$ jak i $X\setminus Z$ ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem $X$ .

Jeśli $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina, to:

Przestrzeń polska – specjalny rodzaj badanych w topologii i teorii mnogości przestrzeni topologicznych, nazwanych tak dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin.

W teorii mnogości, indukcja pozaskończona to rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, czy też nawet na klasę liczb porządkowych.

$X\setminus Z$ jest zbiorem Bernsteina,

$Z$ nie ma własności Baire'a,

$Z$ jest niemierzalny względem dowolnej niezerowej miary Radona na $X$ .

Istnieją takie dwie podgrupy $G_1, G_2$ grupy $(\mathbb{R}, +)$ dla których $G_1\cap G_2=\{0\}$

i które są zbiorami Bernsteina.

Konstrukcja

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia AC. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus i Stanisław Świerczkowski udowodnili, że pod założeniem aksjomatu determinacji nie istnieją zbiory Bernsteina.

Poniższe rozumowanie oparte jest o twierdzenie Zermelo, które mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować (twierdzenie Zermelo jest równoważne aksjomatowi wyboru).

Zbiór nieprzeliczalny – zbiór, który nie jest przeliczalny. Inaczej: zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (zatem ma większą moc). Pojęcie zbioru nieprzeliczalnego pochodzi od Georga Cantora.

W matematyce, borelowskie podzbiory przestrzeni topologicznej (X,τ) to elementy σ-ciała podzbiorów X związanego w pewien sposób z topologią τ. W literaturze istnieją przynajmniej dwie nierównoważne (choć zbliżone) definicje zbiorów borelowskich.

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską - wówczas $X$ jest mocy continuum oraz rodzina wszystkich borelowskich podzbiorów $X$ jest również mocy continuum. Wobec powyższego można wybrać listę $\langle B_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\rangle$

złożoną ze wszystkich nieprzeliczalnych borelowskich podzbiorów $X$ . (Gdzie $2^{\aleph_0}$ jest traktowane jako liczba porządkowa.) Teraz przez indukcję ze względu na $\alpha<2^{\aleph_0}$ można wybrać takie punkty $x_\alpha,y_\alpha\in X$ , że: $x_\alpha\neq y_\alpha$ , $x_\alpha,y_\alpha\in B_\alpha \setminus \{x_\beta,y_\beta:\beta<\alpha\}$ .

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku $\alpha<2^{\aleph_0}$ wiadomo, że zbiór $B_\alpha$ jest nieprzeliczalny a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór $\{x_\beta,y_\beta:\beta<\alpha\}$ jest mocy mniejszej niż continuum.

Continuum (z łac., neut. continuus, od continēre, „trzymać razem, wewnątrz; zawierać”, od com-, „z, razem; całkowicie, gruntownie, dokładnie” i tenēre, „trzymać”; tendere, „rozciągać”, gr. τείνειν teinein, „rozciągać, wyciągać”) – wyraz związany z ciągłością i trwaniem, może oznaczać jeden z następujących terminów:

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Po zakończeniu powyższego procesu, skonstruowane zbiory $\{x_\alpha\colon\,\alpha<2^{\aleph_0}\}$ i $\{y_\alpha\colon\,\alpha<2^{\aleph_0}\}$

są rozłączne oraz każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

Wzmocnienie

Powyższą konstrukcję można wzmocnić: dla dowolnej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej istnieje jej rozbicie $(X_\alpha)_{\alpha<2^{\aleph_0}}$ na continuum zbiorów Bernsteina.

Bibliografia

A. B. Kharazishvili, Nonmeasurable sets and functions. North-Holland Mathematics. Studies, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2004, ss. 17-26

Przypisy

Felix Bernstein, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), ss. 325-338.
Jan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3
Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of Determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67-71.

Zobacz też

zbiór Vitalego,

miara Lebesgue'a,

własność Baire'a.