Zbiór Cantora - Polski Serwis Naukowy

Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883 przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi $\aleph_0$ ).

Definicje

Podstawowa konstrukcja

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego $C_0 := [0,1]$ liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $\langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle$ , takich że

Kostka Cantora (wagi κ, gdzie κ jest nieskończoną liczbą kardynalną) - przestrzeń produktowa κ kopii zbioru {0,1} z topologią dyskretną. Kostka Cantora wagi κ oznacza jest zwykle symbolem Dκ - dokładniej:
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

$(\otimes)_n$ zbiór $C_n$ jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że zbiór $C_0$ to odcinek $[0,1]$

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek $(\otimes)_0$ ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący. Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór $C_n$ tak, że jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych (tzn spełnia $(\otimes)_n$ ). Każdy z $2^n$ odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru $C_n$ wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc $C_{n+1}=C_n\setminus (I_1\cup\ldots \cup I_{2^n})$ (gdzie $I_1,\ldots,I_{2^n}$ to "środkowe" odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór $C_{n+1}$ jest sumą $2^{n+1}$ rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek $(\otimes)_{n+1}$ jest spełniony).

Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg $\langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle$ jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

$C:=\bigcap^{\infty}_{n=0}C_n$ .

Alternatywna definicja

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać: $\sum^{\infty}_{i=1}\frac{a_{i}}{3^i}$

gdzie $a_i \in \{0, 2\}$ . Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału $[0,1]$ , dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory $C_n$ , tak że każdy z nich jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych długości $\left(\tfrac{1}{3}\right)^n$ . Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory $C_{n+1}$ wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na $C_n$ ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.
Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $\langle D_0,D_1,D_2,\ldots\rangle$ tak, że każdy zbiór $D_n$ jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia $D_0=[0,1]$ .

Następnie, przypuśćmy że zbiór $D_n$ jest już wyznaczony i jest on sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych, $D_n=I_1\cup\ldots\cup I_{2^n}$ . W centrum każdego z odcinków $I_k$ wybieramy otwarty pododcinek $J_k$ długości $|J_k|=2^{-2(n+1)}$ . Kładziemy $D_{n+1}=D_n\setminus (J_1\cup\ldots\cup J_{2^n})$ .

Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

Topologia produktowa – w topologii i związanych z nią działach matematyki naturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa będąca iloczynem kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych. Różni się ona od być może bardziej oczywistej topologii przedziałowej, również zadawanej na na przestrzeni produktowej, która pokrywa się z topologią produktową, gdy rozważa się produkt skończenie wielu przestrzeni. Topologię produktową uważa się jednak za „prawidłową” z powodu, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.
Baza przestrzeni topologicznej - dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę - jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

$D:=\bigcap^{\infty}_{n=0}D_n$ .

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)