Zbiór Mandelbrota - Polski Serwis Naukowy

Zbiór Mandelbrota

Przybliżone samopodobieństwo zbioru Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, francuskiego matematyka Benoit Mandelbrota.

Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie. Wbrew próbom rozróżnienia terminów [potrzebne źródło] rekursja i rekurencja w rzeczywistości słowa te mają identyczne znaczenie[potrzebne źródło].

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Konstrukcja

Zbiór tworzą te punkty $p \in \mathbb{C}$ dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym: $\left\{\begin{matrix} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! z_{0} = 0\\ z_{n+1} = z_{n}^{2} + p \end{matrix}\right.$

nie dąży do nieskończoności: $\lim _{n \to \infty} z_{n} \not = \infty$

Można wykazać, że jest to równoważne z: $\forall_{n \in \mathbb{N}} |z_{n}|<2$

Podsumowując jednym zdaniem: $M = \{p \in \mathbb{C}: \forall_{n \in \mathbb{N}} |z_n|<2 \}$

Alternatywnie zbiór Mandelbrota definiuje się jako punkty, które w rodzinie zbiorów Julii dają zbiory spójne.

Obrazy przybliżone

Przybliżony (128 pierwszych wyrazów ciągu) obraz zbioru (czarny)

Dokładniejszy obraz (2048 pierwszych wyrazów ciągu)

Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota. Obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki.

Udo z Aachen lub Mnich Mandelbrota (ang. Mandelbrot monk) - fikcyjna postać średniowiecznego mnicha z klasztoru Sankt Umbertus koło Aachen stworzona w eseju napisanym na prima aprilis 1999 r. przez R. Girvana. Według eseju mnich ten był kopistą, ilustratorem, autorem poematu Fortuna Imperatrix Mundi, będącego częścią dzieła znanego obecnie jako Carmina Burana (wersja orkiestrowa została napisana w latach 30. XX w. przez Carla Orffa).

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:

Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu $p$ oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu $z_n$ . Decyduje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek $|z_n|<2$ . Jest to tym samym obraz przybliżony. Okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach. Zbiór Mandelbrota zawiera się (jest podzbiorem) każdego przybliżenia. Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę $m$ :

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

MATLAB - program komputerowy będący interaktywnym środowiskiem do wykonywania obliczeń naukowych i inżynierskich, oraz do tworzenia symulacji komputerowych.

$\forall_{n \leqslant m} |z_{n}|<2$

Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu $z_n$ , które spełniają powyższy warunek. Ponieważ podczas wyznaczania obrazu przybliżonego liczba $m$ jest uzyskiwana niejako "za darmo", często wykorzystuje się ją do zabarwiania punktów nie należących do zbioru Mandelbrota. Każdej z wartości $m$ przyporządkowuje się pewien kolor.

Samopodobieństwo – w matematyce właściwość zbioru, przejawiająca się tym, że kształt całego zbioru jest podobny do kształtu fragmentu tego zbioru (jednego lub kilku). Wiele obiektów w świecie rzeczywistym, jak np. linia brzegowa, jest statystycznie samopodobnych: ich fragmenty przejawiają takie same statystyczne właściwości w wielu różnych skalach. Samopodobieństwo jest typową własnością fraktali.

Grafika komputerowa – dział informatyki zajmujący się wykorzystaniem komputerów do generowania obrazów oraz wizualizacją rzeczywistych danych. Grafika komputerowa jest obecnie narzędziem powszechnie stosowanym w nauce, technice, kulturze oraz rozrywce.

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota dla okresów 1-6

Punkty centralne składowych zbioru Mandelbrota dla okresów 1-8

Przykładowy program

Skrypt napisany w Matlabie generujący zbiór Mandelbrota podobny jak na górze strony:

%Zbiór Mandelbrota
 
%zakres układu współrzędnych:
x_min = -2.5;
x_max = 1.5;
y_max = 1.25;
y_min = -1.25;
 
iterations = 50;
m = input('podaj szerokość:\n'); %program wygeneruje obrazek o szerokości m pikseli i proporcji zależnej od zakresu układu wsp.
n = floor(m * (y_max - y_min)/(x_max - x_min));
unit = (x_max - x_min)/m;
Mal = zeros(n,m,3);
 
C_0 = x_min + 1i*y_max;
C = C_0;
 
%Tutaj zaczynają się parametry kolorowania
w1 = 50;
w2 = 50;
w3 = 50;
 
p1 = 2.2;
p2 = 2.2;
p3 = 2.2;
 
c1 = 1/4;
c2 = 1/2;
c3 = 3/4;
 
f1 = @(x) exp(-w1*abs(x-c1).^p1);
f2 = @(x) exp(-w2*abs(x-c2).^p2);
f3 = @(x) exp(-w3*abs(x-c3).^p3);
%koniec kolorowania
 
for i = 1:n
    C = C - real(C) + real(C_0);
    for j = 1:m
        c = checkC(0, C, iterations) / iterations;
        Mal(i,j,1) = f1(c);
        Mal(i,j,2) = f2(c);
        Mal(i,j,3) = f3(c);
        %Mal(i,j,:) = c; %gdy chcemy zbiór czarno biały
        C = C + unit;
    end
    C = C - 1i*unit;
end
 
imshow(Mal);

Użyta w skrypcie funkcja sprawdzająca zbieżność ciągu:

function [ it_used ] = checkC(z_0, C, it_max )
 
    for i = 0:it_max
        z_1 = z_0^2 + C;
        if abs(z_1) >= 2
            break;
        end
        z_0 = z_1;
    end
 
    it_used = i;
end

Zobacz też

fraktal

MPSolve - obliczanie punktów centralnych składowych zbioru Mandelbrota

Mnich Mandelbrota

zbiór Julii

płonący statek

Linki zewnętrzne

Galeria fraktali w serwisie fraktalny.net

Fragment żuka Mandelbrota wyświetlony przy ograniczeniu do 500 iteracji lub 2000 iteracji.

Wikimedia Commons ma galerię ilustracji związaną z tematem:
Zbiór Mandelbrota