Zbiór Vitalego - Polski Serwis Naukowy

Zbiór Vitalego – podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Konstrukcja (wymagająca założenia aksjomatu wyboru) została podana przez Giuseppe Vitalego w 1905.

Konstrukcja

Niech $\lambda$ oznacza miarę Lebesgue'a w zbiorze liczb rzeczywistych. W przedziale [0,1] można określić relację ~ w następujący sposób: x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy x – y jest liczbą wymierną.

Relacja ~ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1]. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie zbioru $V$ , który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy zbiór o takiej własności nazywany jest zbiorem Vitalego.

W topologii i teorii mnogości, zbiory Bernsteina to bardzo nieregularne podzbiory przestrzeni polskiej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908.

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Jeśli V jest zbiorem Vitalego, to:

różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, skąd

$(V+q)\cap (V+q^\prime)=\varnothing$ dla każdych dwóch różnych liczb wymiernych $q,\,q^\prime$ .

Oznacza to, że rodzina $\mathcal{V}=\{V+q\colon q\in [-1,1]\cap \mathbb{Q}\}$

jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby $V$ był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci $V+q$ byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue'a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że $\bigcup \mathcal{V}$ jest zbiorem mierzalnym oraz

Przedział jednostkowy – w matematyce przedział [0,1] liczb rzeczywistych. We wszystkich swych potencjalnych znaczeniach jest on prawie zawsze oznaczany literą I. Odgrywa on fundamentalną rolę w teorii homotopii, gałęzi topologii.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

$1\leq \lambda\Big(\bigcup \mathcal{V}\Big)\leq 3$

ponieważ $[0,1]\subseteq \bigcup \mathcal{V} \subseteq [-1,2].$

$V$ nie może być więc miary zero - nie może być również zbiorem miary dodatniej, co prowadzi do sprzeczności, bo wówczas $\lambda\Big(\bigcup \mathcal{V}\Big)=\infty$ .

Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu "konstrukcja zbioru Vitalego" w znaczeniu "definicja takich zbiorów".

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Wydawnictwo Naukowe PWN SA – polskie wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Jednostka dominująca grupy kapitałowej, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

Przypisy

Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905.

Bibliografia

Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 323-324. ISBN 978-83-01-15232-1.

Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 118-119.

Zobacz też

zbiór Bernsteina,

paradoks Banacha-Tarskiego