Zbiór analityczny - Polski Serwis Naukowy

Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michała Suslina.

Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich

Niech ${\mathcal N}$ oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej X definiujemy klasy $\Sigma^1_1(X)$ i $\Pi^1_1(X)$ następująco:

$\Sigma^1_1(X)$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times{\mathcal N}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,

$\Pi^1_1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_1(X)$ .

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy $\Sigma^1_1,\Pi^1_1$ (zamiast $\Sigma^1_1(X),\Pi^1_1(X)$ ).

Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Zbiory należące do klasy $\Sigma^1_1(X)$ nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni $X$ , a zbiory z klasy $\Pi^1_1(X)$ są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni $X$ . Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.

Gra nieskończona – wyimaginowany proces, w którym dwie osoby podejmują szereg (zwykle naprzemiennych) wyborów ponumerowanych elementami pewnej nieskończonej liczby porządkowej. Po zakończeniu procesu pewne zadane z góry kryterium używane jest do rozstrzygnięcia, który z graczy odniósł zwycięstwo.

Hipoteza continuum (skr. CH, od ang. continuum hypothesis) – postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.

Przykłady

Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny.

Dla ciągu $x\in 2^{\mathbb N}$ niech $R_{x}=\{(n,m)\in {\mathbb N}\times {\mathbb N}: x(2^n\cdot (2m+1))=1\}$ . Tak więc, dla każdego $x\in 2^{\mathbb N}$ , zbiór $R_x$ jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych ${\mathbb N}$ . Rozważmy zbiór

${\bold{WO}}=\{x\in 2^{\mathbb N}: R_x$ jest dobrym porządkiem na ${\mathbb N}\}.$ Wówczas ${\bold{WO}}$ jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie $2^{\mathbb N}\setminus {\bold{WO}}$ jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski.)

Własności

Jeśli Y jest przestrzenią polską, $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $A\in \Sigma^1_1(X)$ , to $f(A)\in\Sigma^1_1(Y)$ . W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny.

Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio).

Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały.

Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Jeśli $A,B$ są rozłącznymi podzbiorami analitycznymi przestrzeni polskiej X, to można znaleźć taki zbiór borelowski $C\subseteq X$ , że $A\subseteq C$ oraz $C\cap B=\emptyset$ . W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie.

Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1\cup \Pi^1_1$ mają własność Baire'a.

Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1({\mathbb R})\cup \Pi^1_1({\mathbb R})$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.

Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z $\Sigma^1_1({\mathcal N})$ są zdeterminowane.

Przypuśćmy, że X,Y są przestrzeniami polskimi i $A\subseteq X\times Y$ jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny $B\subseteq A$ który jest wykresem funkcji o dziedzinie $\{x\in X:(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\}$ .

Powyższe twierdzenie przy założeniu że A jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti Kondo.

Zobacz też

teoria mnogości

opisowa teoria mnogości

zbiór rzutowy

zbiór borelowski

Przypisy

Souslin, M.: Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis. "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris", 164 (1917), s. 88-91.
Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
Sierpinski, Wacław: Sur l'uniformisation des ensembles mesurables (B). "Fundamenta Math." 16 (1930), s. 136-139.
Kondô, Motokiti: Sur l'uniformisation des complémentaires analytiques et les ensembles projectifs de la seconde classe. "Japan. J. Math." 15 (1938), s. 197-230.