Zbiór borelowski - Polski Serwis Naukowy

Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych (bądź zwartych) tej przestrzeni. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
Andrzej Stanisław Mostowski (ur. 1 listopada 1913 we Lwowie, zm. 22 sierpnia 1975 w Vancouver, Kanada) – polski matematyk zajmujący się głównie podstawami matematyki, przedstawiciel warszawskiej szkoły matematycznej.

Intuicyjnie rodzina zbiorów borelowskich zawiera "bardzo porządne" podzbiory przestrzeni topologicznej: "najporządniejszymi" można nazwać zbiory otwarte, domknięte bądź zwarte. Za "porządne" można również uznać operacje sum i przekrojów: są one tak naturalne i często spotykane, że warto rozważać taką klasę podzbiorów zawierającą "najporządniejsze" zbiory, z której działania te nie wyprowadzają nawet przy przeliczalnej liczbie operandów (dobrym przykładem jest zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej uzyskany jako np. przeliczalna suma przeliczalnego iloczynu zbiorów otwartych). Taką właśnie klasą jest rodzina zbiorów borelowskich.

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.
Francuzi – naród romański zamieszkujący głównie Francję (ok. 52 mln), Wielką Brytanię (ok. 100 tys.), Katalonię (ok. 4 tys.) oraz nieliczni w Belgii, Andorze, Luksemburgu, Monako i Szwajcarii. Poza tym Francuzi żyją głównie w swoich byłych koloniach w Afryce oraz w własnych terytoriach zamorskich w Oceanii i na innych kontynentach. Około 10 milionów osób francuskiego pochodzenia mieszka w Stanach Zjednoczonych, a 5 milionów w Kanadzie. Ich ojczystym językiem jest francuski. Większość Francuzów to katolicy (chrystianizacja w II – IV wieku). Dzisiaj wielu potomków byłych imigrantów uważa się za część narodu francuskiego, są to przeważnie osoby pochodzenia afrykańskiego i arabskiego. Pozostają oni obywatelami państwa francuskiego.

Definicje

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. Zwykle zbiór borelowski definiuje się jako element należący do najmniejszego σ-ciała przestrzeni $X$ , które zawiera wszystkie (σ-ciała generowanego przez)

podzbiory otwarte $X$ (tzn. zawierającego rodzinę $\tau$ ), równoważną definicję uzyskuje się żądając podzbiorów domkniętych;
podzbiory zwarte $X$ .

W ogólnym przypadku definicje 1. i 2. nie są równoważne: można podać przykłady przestrzeni topologicznych, w których odpowiednie σ-ciała zbiorów są różne (na przykład przestrzeń Baire'a $\mathbb N^{\mathbb N}$ albo zbiór liczb niewymiernych $\mathbb R \setminus {\mathbb Q}$ ). Definicje te pokrywają się jednak np. w lokalnie zwartych przestrzeniach Lindelöfa, gdzie zbiory domknięte są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, skąd σ-ciało generowane przez zbiory otwarte jest równe σ-ciału generowanemu przez zbiory zwarte. W szczególności pojęcia te są zgodne w lokalnie zwartych ośrodkowych przestrzeniach metrycznych.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
prof. Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

W teorii mnogości, w odniesieniu do przestrzeni polskich zwyczajowo przyjmuje się pierwszą definicję, co założono w dalszej części artykułu.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)