Zbiór mierzalny - Polski Serwis Naukowy

Nieformalnie miara przypisuje zbiorom nieujemne liczby rzeczywiste tak, by większym zbiorom odpowiadały większe liczby.

Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.

Pojęcie to wyrosło z potrzeby bardziej usystematyzowanego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue'a nad jego miarą. Nie wszystkie zastosowania miar muszą mieć związek z wielkościami fizycznymi. Nieformalnie, dla danego zbioru, „miara” jest dowolnym spójnym przypisaniem „wielkości” (pewnym) podzbiorom tego zbioru.

Miara licząca (zliczająca) – w teorii miary intuicyjny sposób określenia miary na dowolnym zbiorze: „wielkość” danego podzbioru określa się liczbą elementów, jeżeli jest on skończony oraz nieskończonością, jeżeli jest on nieskończony.
Miara Radona – w teorii miary lokalnie skończona i wewnętrznie regularna miara określona na σ-ciele zbiorów borelowskich topologicznej przestrzeni Hausdorffa.

W zależności od zastosowań „wielkość” podzbioru może oznaczać jego liczność, ilość elementów posiadających pewną cechę lub prawdopodobieństwo wystąpienia pewnego zdarzenia losowego. Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o bardziej skomplikowanej strukturze niż przedziały prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się najczęściej w teorii prawdopodobieństwa i wielu działach analizy matematycznej.

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).
Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Często niemożliwym lub niepożądanym jest przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego też nie wymaga się tego w jej definicji. Istnieją jednak pewne warunki spójności rządzące typami kombinacji podzbiorów, którym można przypisać wielkość za pomocą miary; zawierają się one w dodatkowym pojęciu przestrzeni mierzalnej.

Miara borelowska – miara określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej, tzn. najmniejszym σ-ciele zawierającym wszystkie zbiory otwarte tej przestrzeni. Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu nazwy „miara borelowska”: czasami oznacza ona wszystkie rzeczywiste bądź zespolone przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów określone na rodzinie zbiorów borelowskich. Takie podejście jest szczególnie popularne w kontekście operowania miarami borelowskimi jako ciągłymi funkcjonałami liniowymi na przestrzeni funkcji ciągłych określonych na pewnej przestrzeni zwartej (por. twierdzenie Riesza).
W topologii i teorii mnogości, zbiory Bernsteina to bardzo nieregularne podzbiory przestrzeni polskiej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908.

Teoria miary (lub czasami ogólniej: teoria miary i całki) jest gałęzią analizy rzeczywistej, która bada σ-algebry, miary, funkcje mierzalne oraz całki.

Definicja

Niech $\mathcal{A}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru $\,\Omega$ . Funkcję $\mu\colon \mathcal{A}\to [0,\infty]$

nazywamy miarą, gdy

$\mu(\varnothing)=0$

$\mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n )=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$

dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych $A_1, A_2, A_3, \ldots \in\mathcal{A}$ .

Parę $(\Omega, \mathcal{A})$ nazywamy przestrzenią mierzalną, natomiast trójkę $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ - przestrzenią z miarą.

Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.
Twierdzenie Fubiniego - jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Miary, które spełniają warunek $\mu(\Omega)=1\,$

nazywamy miarami probabilistycznymi. Miary tego rodzaju są zasadniczym pojęciem w nowoczesnej teorii prawdopodobieństwa.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)