Zbiór ograniczony - Polski Serwis Naukowy

Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Porządki częściowe

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$ . Powiemy, że

element $s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ jeśli $(\forall a\in A)(a\sqsubseteq s)$ ,

element $s$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ jeśli $(\forall a\in A)(s\sqsubseteq a)$ .

Każdy element zbioru $X$ jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Zbiór całkowicie ograniczony – podzbiór przestrzeni metrycznej, który można pokryć skończenie wieloma kulami o ustalonym promieniu. W szczególności, każdy zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest całkowicie ograniczony.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru $A$ , to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór $A$ zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Wydawnictwo Naukowe PWN SA – polskie wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Jednostka dominująca grupy kapitałowej, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

Przestrzenie metryczne

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór $A$ przestrzeni $X$ nazywany jest zbiorem ograniczonym (w $X$ ), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli. Równoważnie, jeżeli $\sup\{d(x,y)\colon\,x,y\in A\}<\infty$ .

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony w $X$ , gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje $\alpha\in (0,\infty)$ , że $A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}$ .

Matematyka (. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Można wykazać, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Przypisy

Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 121, seria: Biblioteka Matematyczna.

Zobacz też

lemat Kuratowskiego-Zorna,

zbiór całkowicie ograniczony,

kres dolny i górny.