Zbiór rozmyty - Polski Serwis Naukowy

Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) – obiekt matematyczny ze zdefiniowaną funkcją przynależności (zwaną też funkcją charakterystyczną zbioru rozmytego), która przybiera wartości z przedziału [0, 1]. Teoria zbiorów rozmytych została wprowadzona przez Lotfi A. Zadeha w 1965 r. jako rozszerzenie klasycznej teorii zbiorów.

Prawdopodobieństwo subiektywne to interpretacja prawdopodobieństwa, według której prawdopodobieństwo nie musi być wielkością obiektywną, lecz może być określone na podstawie subiektywnej opinii osoby, zależnie od dostępnych jej aktualnie danych.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Przeciwdziedzina funkcji przynależności klasycznego zbioru ma jedynie dwie wartości: 0 i 1.

Definicja

Zbiorem rozmytym $A$ w przestrzeni $X$ jest zbiór uporządkowanych par: $A=\{(x, \mu_A(x))|x \in X\}$ ,

gdzie $\mu_A\colon X \to [0,1].\$

Przykładem zbioru rozmytego może być "zbiór wysokich ludzi". Oczywiście niektórzy ludzie są wysocy (przynależność 1), inni zaś nie są (przynależność 0), jest jednak duża grupa ludzi pomiędzy tymi dwiema skrajnościami, dla których funkcja przynależności przyjmuje wartości pośrednie.

S-funkcja (funkcja klasy s) - funkcja używana jako jedna z funkcji przynależności w logice rozmytej. Nazwa pochodzi od kształtu wykresu tej funkcji przypominający literę s. Funkcja ta definiowana jest jako:

Logika rozmyta (ang. fuzzy logic), jedna z logik wielowartościowych (ang. multi-valued logic), stanowi uogólnienie klasycznej dwuwartościowej logiki. Została zaproponowana przez Lotfi Zadeha, jest ściśle powiązana z jego teorią zbiorów rozmytych. W logice rozmytej między stanem 0 (fałsz) a stanem 1 (prawda) rozciąga się szereg wartości pośrednich, które określają stopień przynależności elementu do zbioru.

W teorii zbiorów rozmytych używane są różne funkcje przynależności. Najczęściej stosowane to funkcja trapezowa, trójkątna i tak zwana s-funkcja.

Ze zbiorem rozmytym związane są następujące wielkości:

nośnik (ang. support) zbioru rozmytego A: zbiór takich elementów $x$ , których wartość funkcji przynależność jest większa od zera:

$Support(A)=\{x|\mu_A(x)>0\}\;$

rdzeń (ang. core) zbioru rozmytego A: zbiór takich elementów $x$ , których wartość funkcji przynależności jest równa 1:

$Core(A)=\{x|\mu_A(x)=1\}\;$

wysokość (ang. height) zbioru rozmytego A: największa wartość funkcji przynależności

$h=sup\{\mu_A(x)|x \in X\}\;$

Zbiór rozmyty jest znormalizowany, wtedy i tylko wtedy, gdy $h=1$ .

Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.

Sztuczna inteligencja (ang. Artificial Intelligence – AI) – nauka obejmująca zagadnienia logiki rozmytej, obliczeń ewolucyjnych, sieci neuronowych, sztucznego życia i robotyki. Sztuczna inteligencja to dział informatyki, którego przedmiotem jest badanie reguł rządzących inteligentnymi zachowaniami człowieka, tworzenie modeli formalnych tych zachowań i – w rezultacie – programów komputerowych symulujących te zachowania. Można ją też zdefiniować jako dział informatyki zajmujący się rozwiązywaniem problemów, które nie są efektywnie algorytmizowalne.

Topologia zbiorów rozmytych

Zbiór rozmyty jest wypukły, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych $x, y, z, x \leqslant y \leqslant z$ spełniona jest zależność: $\mu_A(y) \geqslant min[\mu_A(x), \mu_A(z)]$ .