Zbiór wypukły - Polski Serwis Naukowy

Zbiór wypukły – intuicyjnie, podzbiór pewnej przestrzeni euklidesowej, o tej własności, że dowolny odcinek, którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.

Pojęcie odcinka może być zdefiniowane rozmaicie, jednak definicja zbioru wypukłego pozostaje bez zmian. Formalna definicja może się obejść bez tego pojęcia i jest uogólniona na przypadek przestrzeni liniowej, a nawet afinicznej nad ciałem liczb rzeczywistych.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Zbiór $W\subseteq X$ nazywamy wypukłym, gdy

Definicja (łac. definitio – określenie) – wypowiedź o określonym kształcie, w której informuje się o znaczeniu danego wyrażenia językowego drogą wskazania innego wyrażenia przynależącego do danego języka i posiadającego to samo znaczenie.

Kwadrat – wielokąt foremny (czworokąt), posiadający cztery boki równej długości oraz cztery kąty wewnętrzne o równej wartości wynoszącej 90°. Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta o wszystkich bokach równej długości. Jest on również szczególnym przypadkiem rombu, którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste. Można powiedzieć, że kwadrat to prostokąt będący jednocześnie rombem.

$\forall_{x_1, x_2\in W}\ \forall_{\begin{smallmatrix}\alpha_1, \alpha_2\geqslant 0 \\ \alpha_1+\alpha_2=1\end{smallmatrix}}(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)\in W$

Niech $X$ będzie przestrzenią afiniczną nad ciałem liczb rzeczywistych. Zbiór $W\subseteq X$ nazywamy wypukłym, gdy $\forall_{x_1, x_2\in W} \ \forall_{0 \leqslant \alpha \leqslant 1} \ (x_1+\alpha \overrightarrow{x_1x_2})\in W$

Punkty ekstremalne

Punkt $x\in W$ nazywamy punktem ekstremalnym zbioru $W$ , jeśli nie należy on do wnętrza żadnego odcinka zawartego w zbiorze $W$ . Innymi słowy, punkt $x\in W$ jest ekstremalny jeśli $x= \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2 \Rightarrow x_1=x \vee x_2=x$ .

Intuicyjnie, punkty ekstremalne to "wierzchołki" zbioru wypukłego – ale nie tylko – np. każdy punkt brzegu koła jest punktem ekstremalnym.

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Półpłaszczyzna – każda z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzieli ją leżąca na niej prosta, wraz z tą prostą. Prosta ta jest wspólnym brzegiem wspomnianych półpłaszczyzn.

Przykłady

Przykłady zbiorów wypukłych na płaszczyźnie: płaszczyzna, półpłaszczyzna, kąt ostry, kąt prosty, koło, kwadrat, trójkąt, odcinek, prostokąt, każdy wielokąt foremny. Pojedynczy punkt też jest zbiorem wypukłym i zarazem punktem ekstremalnym. Wierzchołki wielokątów wypukłych są ich punktami ekstremalnymi.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

W przestrzeni natomiast bryłami wypukłymi są np. kula, sześcian, stożek, prostopadłościan.

Zbiór nie będący wypukłym nazywa się wklęsłym lub niewypukłym. Zbiorami niewypukłymi są takie zbiory jak:

Każdy skończony zbiór punktów o co najmniej dwóch elementach oraz każdy okrąg są zbiorami wklęsłymi. Przykładami niewypukłych brył są: sfera, torus.

Kąt płaski jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy jego miara jest mniejsza bądź równa $\pi$ lub gdy jest pełny.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Kąt prosty – kąt płaski przystający do swojego kąta przyległego; w zależności od przyjętej jednostki miara łukowa kąta prostego wynosi odpowiednio: π/2 rad (radian), 90° (stopień), 100 (grad). W polskiej literaturze matematycznej kąt prosty oznacza się kropką, w literaturze krajów anglojęzycznych stosuje się oznaczenie kwadracikiem (zob. rys. obok).

Właściwości

Część wspólna dowolnie wielu zbiorów wypukłych jest znów zbiorem wypukłym, ale suma zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym.

Dla wielościanów wypukłych prawdziwe jest twierdzenie Eulera o wielościanach, które mówi, że $S+W-K=2$ , gdzie $S$ to liczba ścian, $W$ to liczba wierzchołków a $K$ liczba krawędzi.

Zobacz też

funkcja wypukła

otoczka wypukła