Zdarzenie losowe - teoria prawdopodobieństwa

Intuicyjnie, zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może to być zarówno zbiór składający się z pojedynczego wyniku jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Zdarzenia losowe rozważa się w rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja

Niech $(\Omega,\mathcal{F}, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Dowolny element σ-ciała $\mathcal{F}$ nazwiemy zdarzeniem losowym, natomiast samo σ-ciało $\mathcal{F}$ bywa nazywane zbiorem zdarzeń losowych. Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (lub zbiór zdarzeń elementarnych, także przestrzeń próbek), oznaczana tradycyjnie grecką literą Ω, jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego lub próby losowej.

Przykład

Eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry. Za zbiór $\Omega$ przyjmijmy zbiór możliwych wyników, tzn. $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ . σ-ciała podzbiorów $\Omega$ nie są z góry określone. Możemy zdecydować się na przykład na następujące σ-ciała zdarzeń losowych:

$\mathcal{F}_1=\{\emptyset,\Omega\}$ - takie σ-ciało nazywamy zdegenerowanym. Można je skonstruować dla dowolnego zbioru zdarzeń elementarnych. W tej przestrzeni dysponujemy zatem tylko zdarzeniem niemożliwym $\emptyset$ oraz zdarzeniem pewnym $\Omega$ .

$\mathcal{F}_2=\left\{\emptyset,\Omega,\{1\},\{2,3,4,5,6\}\right\}$ - tutaj zdarzeniami losowymi oprócz niemożliwego i pewnego będą także zbiory $\{1\}$ oraz $\{2,3,4,5,6\}$ .

$\mathcal{F}_3=2^\Omega$ - rodzina wszystkich podzbiorów $\Omega$ . Dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych jest zdarzeniem losowym.

Z formalnego punktu widzenia wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Jednak tylko ten ostatni wybór stanowić będzie poprawny model "rzeczywistości", tzn. naszego eksperymentu rzucania kostką.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Zdarzenie losowe pewne (zdarzenie pewne) – zbiór składający się ze wszystkich zdarzeń elementarnych danej przestrzeni zdarzeń elementarnych. Jest ono interpretowane jako zdarzenie, które musi zajść.

Terminologia

Zwróćmy też uwagę na terminologię opisu zdarzeń losowych. Pojedynczy wynik eksperymentu jest określany jako zdarzenie elementarne, np. 1, 4 itp. Zdarzenie losowe to zbiór, np. {3}, {1,4,5}. Podzbiory danego zdarzenia losowego są nazywane zdarzeniami sprzyjającymi danemu zdarzeniu. Zdarzenia losowe {1} i {4} (a także np. {4,5}) sprzyjają zdarzeniu {1,4,5}.

Niektóre typy zdarzeń losowych

Zdarzenia losowe rozłączne

zdarzenia losowe niezależne

zdarzenie losowe przeciwne

zdarzenie losowe niemożliwe

zdarzenie losowe pewne