Zmienna losowa - Polski Serwis Naukowy

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal F, P)$ nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną $\xi \colon \Omega \to \mathbb{R}$ , tzn. funkcję $\xi$ spełniającą warunek $\xi^{-1}(B)\in \mathcal{F}$ dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}$ .

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. $X, Y, Z$ lub liter greckich $\xi, \eta,$ odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) - i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni $\Omega$ o wartościach w przestrzeni $R^N$ nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać $X(\omega) = \left(X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_N(\omega)\right)$ , gdzie $X_i\;$ dla $i = 1, \dots, N$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Przestrzeń polska – specjalny rodzaj badanych w topologii i teorii mnogości przestrzeni topologicznych, nazwanych tak dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin.

Kości do gry – niewielkie wielościany z umieszczonymi na poszczególnych bokach liczbami (oczkami). Wykorzystuje się je w grach planszowych, fabularnych, bitewnych i hazardowych w celu generowania losowych wyników. Najczęściej spotykane są kości sześcienne.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady

Niech $\Omega$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary $(i, j) \in R^2$ , gdzie $1 \leqslant i, j \le 6$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

Niech dane będą: $\Omega = [0, 1],$ σ-ciało $\mathcal F$ zbiorów borelowskich przedziału $[0, 1]$ oraz określona na nim miara Lebesgue'a $P$ . Każda funkcja ciągła $\xi : \Omega \to \mathbb R$ jest zmienną losową.

Zobacz też

rozkład zmiennej losowej

dyskretny rozkład prawdopodobieństwa

ciągły rozkład prawdopodobieństwa

gęstość zmiennej losowej

dystrybuanta

wartość oczekiwana

wariancja

zależność zmiennych losowych

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 59. ISBN 83-89716-01-1.