Znak liczby - Polski Serwis Naukowy

Znak liczby – właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:

dodatni (liczba większa od 0)

zero

ujemny (liczba mniejsza od 0)

Liczbę rzeczywistą o dodatnim znaku nazywa się liczbą dodatnią, o ujemnym znaku liczbą ujemną. Liczbę rzeczywistą nie będącą ujemną (większą lub równą 0) nazywa się nieujemną, a liczbę nie będącą dodatnią (mniejszą lub równą 0) nazywa się niedodatnią.

Jednostka, jedność urojona (łac. imaginarius, urojony, zmyślony) – w matematyce pewna ustalona liczba zespolona oznaczana zwykle literą i (czasami również j), która spełnia równanie

Brahmagupta (598 - 670) - indyjski astronom i matematyk, który rozważał pewną liczbę idei obecnie akceptowanych w matematyce. Jego głównym osiągnięciem na polu matematyki było wprowadzenie pojęcia zera i liczb ujemnych. W dziele Brahmasphutasiddhanta (628), którego tytuł można przetłumaczyć jako Odsłona wszechświata, definiuje zero jako rezultat otrzymany wtedy gdy liczba jest odjęta od samej siebie – była to najlepsza definicja zera znana w tamtych czasach; dzieło to zawiera również pierwsze znane użycie znaku zera. Brahmagupta dostarczył ponadto zasad operowania "majętnościami" i "długami", czyli dodatnimi i ujemnymi liczbami (co uznaje się za pierwsze znane użycie liczb ujemnych). Odsłona Wszechświata zawiera również algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego, metodę rozwiązywania równań kwadratowych, i elementarną postać notacji symbolicznej (algebraicznej).

Znak liczby zaznacza się przed daną liczbą jako + albo −, np. −124,5.
Znak + często jest pomijany w zapisie.

Ciało uporządkowane

Fakt, że liczby rzeczywiste mają określony znak, wynika z tego, że $({\mathbb R},+,\cdot,0,1,\leqslant)$ jest ciałem uporządkowanym, tzn. $({\mathbb R},+,\cdot,0,1)$ jest ciałem a $\leqslant$ jest porządkiem liniowym zgodnym z operacjami algebraicznymi w tym sensie że

jeśli $a\leqslant b$ to $a+c\leqslant b+c,$

jeśli $0\leqslant a$ i $0\leqslant b$ to $0\leqslant a\cdot b.$

Należy zwrócić uwagę, że z pierwszej własności powyżej wynika, iż aby zdefiniować porządek ciała uporządkowanego wystarczy wskazać, które elementy tego ciała są dodatnie, czyli większe od 0 (elementu neutralnego dodawania w ciele).

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

Przez analogię do terminologii stosowanej w liczbach rzeczywistych, dla dowolnego ciała uporządkowanego $(K,+,\cdot,0,1,\leqslant)$ elementy $a\in K$ które są większe od 0 nazywamy elementami dodatnimi.

Liczby zespolone

Można zapytać, dlaczego nie określamy znaku liczby zespolonej o niezerowej części urojonej (na przykład liczby $5+4i$ ). Powodem tego jest fakt, iż nie istnieje żaden porządek liniowy $\leqslant^*$ w ${\mathbb C}$ który zgadzałby się ze strukturą algebraiczną ciała liczb zespolonych. Istotnie, w ciele uporządkowanym kwadrat każdego elementu jest nieujemny, więc też $0<1=1^2$ oraz $-1<0$ . Teraz zauważmy, że $i^2=-1$ (gdzie $i$ jest jednostką urojoną).

Funkcja signum jest jednak określona dla każdej liczby zespolonej.

Zobacz też

Zobacz hasło znak w Wikisłowniku

signum

Brahmagupta