Zwrot wektora - Polski Serwis Naukowy

Ilustracja wektora

Zwrot wektora – jedna z podstawowych własności charakteryzujących wektor, obok jego kierunku, długości i (dla wektora zaczepionego) punktu zaczepienia.

Intuicyjnie: Zwrot wektora rozróżnia dwa wektory o tym samym kierunku (czyli równoległe do siebie), zwrócone w przeciwne strony. Jeśli wektory są zwrócone w tę samą stronę, to ich zwroty są zgodne, jeśli w przeciwną, to zwroty są przeciwne.

Dla dwóch wektorów o różnych kierunkach, oraz gdy którykolwiek z nich jest wektorem zerowym, nie można określić czy mają zgodny, czy przeciwny zwrot.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, dla elementów której określone jest pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną dodatkową własność, związaną z ich strukturą metryczną. Historycznie to własnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

Zmiana znaku współrzędnych wektora swobodnego lub zamiana początku i końca wektora zaczepionego zmienia zwrot wektora na przeciwny.

Związek z kątem między wektorami

Dwa niezerowe wektory o tym samym kierunku (równoległe, czyli w szczególności także leżące na jednej prostej):

mają zgodne zwroty gdy kąt między wektorami wynosi 0°;

mają zwroty przeciwne gdy kąt między wektorami wynosi 180°.

Związek z iloczynem skalarnym

Niezerowe wektory o tym samym kierunku:

Wektor – obiekt geometryczny w matematyce elementarnej, istotny w inżynierii i fizyce mający moduł (zwany też długością lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Iloczyn skalarny – operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, jednak odnosi się ono zwykle do ogólniejszych iloczynów skalarnych w przestrzeniach unitarnych.

mają zgodne zwroty, gdy iloczyn skalarny wektorów jest dodatni;

mają przeciwne zwroty, gdy jest ujemny.

Przykłady zastosowań

Przykłady w fizyce:

zwrot wektora prędkości ciała, gdy porusza się ono z punktu A do punktu B, jest zgodny ze zwrotem wektora AB (czyli wektora przemieszczenia).

zwrot wektorów sił grawitacji, a także dowolnych innych sił przyciągających dwa ciała:

zwrot wektora siły działającej na ciało A jest zgodny ze zwrotem wektora AB,

zwrot wektora siły działającej na ciało B jest zgodny ze zwrotem wektora BA.

Definicja formalna

Formalnie określana jest pewna relacja równoważności $\mathfrak{R}$ w zbiorze niezerowych wektorów o tym samym kierunku:

Dwa niezerowe wektory zaczepione o tym samym kierunku są w relacji $\mathfrak{R}$ z definicji wtedy i tylko wtedy, gdy po przesunięciu jednego z nich tak, aby ich początki się pokrywały, ich końce leżą na tej samej półprostej o tym samym kierunku co każdy z wektorów i zaczynającej się w ich wspólnym początku.

$\mathfrak{R}$ jest relacją równoważności, zwrot wektora zaczepionego to ta z jej klas abstrakcji do której należy dany wektor.

Zwrot wektora swobodnego to zwrot jego dowolnego zaczepionego odpowiednika.

Dwa wektory mają zgodny zwrot, gdy są ze sobą w tak zdefiniowanej relacji.

Ponieważ iloczyn skalarny można zdefiniować bez powoływania się na zwrot wektora, można tę relację zdefiniować także na inne sposoby, dla wektorów swobodnych, korzystając z podanych wcześniej właściwości, np.

dwa wektory mają ten sam zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest dodatni.

dwa wektory mają ten sam zwrot, gdy kąt pomiędzy nimi jest równy zero.

Przypisy

David A. Santos, Multivariable and Vector Calculus (ang.), definicja 5