[F. kwadratowa] Postać ogólna, kanoniczna, iloczynowa :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[Ogólna] Typy reakcji (syntezy, analizy, wymiany).

[MECHANIKA KLASYCZNA] Wyprowadzenie wzorów i zależności

POSTAĆ OGÓLNA

Wzór ogólny funkcji wygląda następująco:
$\red \fs2 f(x) = ax^2 + bx + c$
gdzie a ≠ 0 (gdyż wtedy niebyłaby już to funkcja kwadratowa).

Z postaci ogólnej możemy odczytać przede wszystkim miejsce przecięcia z osią OY (mówi nam o tym wolny wyraz, czyli c), dowiadujemy się czy ramiona paraboli są skierowane do góry (gdy a>0) czy w dół (gdy a<0). Równie ważnymi zaletami tego wzoru jest występowanie współczynnika a,b i c, będące niezbędne m.in. przy liczeniu wyróżnika trójmianu kwadratowego (delty).

UWAGA!Czasami zdarza się, że wzór funkcji jest niekompletny np.
$\fs2 y = -4x^2 + 3$
$\fs2 y = 2x^2 -7x$

Przyrównując powyższe wzory do postaci ogólnej wyraźnie widać, iż w pierwszym przykładzie brakuje bx, a w drugim c. W takich przypadkach współczynniki przyjmują wartości równe 0.

Zauważmy przecież, że:
$\fs2 y = -4x^2 + 3$ to dokładnie to samo co $y = -4x^2 + 0\cdot x + 3$
$\fs2 y = 2x^2 -7x$ jest niczym innym jak y = 2x^2 -7x + 0

POSTAĆ KANONICZNA

Wzór na postac kanoniczną funkcji kwadratowej:
$\fs2 \red f(x) = a(x - p)^2 + q$
gdzie a ≠ 0

Z postaci kanonicznej możemy odczytać wiele ciekawych informacji, np: współrzędne wierzchołka, zbiór wartości, monotoniczność funkcji, wartość minimalną lub maksymalną (w zalezności od współczynnika a) oraz kierunek i rozchylenie ramion paraboli. Postać kanoniczna pozwala nam również narysować wykres funkcji (gdzie współrzędne wierzchołka $\fs2 \text{[x_w;y_w]}$ to $\fs2 \text{[p;q]}$ )

Współrędne wierzchołka możemy obliczyć za pomocą wzorów:
$\fs2 p = x_w = \frac{-b}{2a}$
$\fs2 q = y_w = \frac{- \Delta}{4a}$

Dowód: $\fs2 f(x) = ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = a(x^2 + 2\frac{b}{2a}x) + c = a[(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}] + c =$
$\fs2 = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a(x - \frac{-b}{2a})^2 + \frac{- \Delta}{4a}$

O ile z postaci kanonicznej możemy od razu odczytać współrzędne wierzchołka i powyższe wzory nie są specjalnie potrzebne to przydają się gdy mamy np: wzór w postaci ogólnej.

Przechodzenie do postaci ogólnej. Generalnie rzecz biorąc przechodzenie do postaci ogólnej jest bardzo łatwe i polega na wyliczeniu wszystkich składników.

Przykład 1: $\fs2 y= -2(x - 3)^2 + 7$ ← postać kanoniczna
$\fs2 y = -2(x^2 - 6x + 9) + 7$ ← korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia
$\fs2 y = -2x^2 + 12x - 11$ ← postać ogólna

Przykład 2: $\fs2 y = 3(x + 1)^2 - 2$
$\fs2 y = 3(x^2 + 2x + 1) - 2$
$\fs2 y = 3x^2 + 6x + 1$

Jak widac sprawa jest dość prosta. Nieco trudniejszą czynnością jest przechodzenie z postaci ogólnej do kanonicznej.

Przykład 1: $\fs2 y = -2x^2 + 6x-9$ ← postać ogólna
Następnie podstawiamy do wzorów na współrzędne wierzchołka
$\fs2 x_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{-4}= 1,5$
$\fs2 y_w = \frac{- \Delta}{4a}= -\frac{36-4\cdot(-2)\cdot(-9)}{-8} = -\frac{-36}{-8} = -4,5$
Podstawiamy do wzoru postaci kanonicznej
$\fs2 y= -2(x-1,5)^2 - 4,5$ ← postać kanoniczna

Przechodzenie do postaci kanonicznej bez korzystania ze wzorów

Przykład 1: $\fs2 y=2x^2 - 12x + 5$ ← postać ogólna
$\fs2 y=2(x^2 - 6x) + 5$ ← wyłączamy współczynnik 2 przed nawias
$\fs2 y=2(x^2 - 2\cdot3x + 3^2) - 18 + 5$ ← współczynnik -6 zapisujemy jako $\fs2 -2\cdot 3$ i dodajemy w nawiasie $\fs2 3^2 =9$ , a za nawiasem odejmujemy 2 $\cdot$ 9 = 18
$\fs2 y=(x - 3)^2-13$ ← postać kanoniczna

Nie należy ten sposób do najłatwiejszych. Myślę jednak, że warto posiąść tę umiejętność. Pamiętajmy, że jeśli $\fs2 \text{x_w}$ będzie ujemne to we wzorze będzie to wartość dodatnia i na odwrót.

POSTAĆ ILOCZYNOWA

Wzór postaci iloczynowej:
$\fs2 \red y=a(x-x_1)(x-x_2)$
gdzie a ≠ 0

Charakterystyczną cechą postaci iloczynowej jest możliwość bezpośredniego odczytania miejsc zerowych. W tym miejscu niezbędne będzie szersze omówienie własności wyróżnika trójmianu kwadratowego, czyli delty.

Wzór na deltę:
$\red \fs2 \Delta = b^2 - 4ac$

Wzory na pierwiastki (miejsca zerowe):
$\fs2 \red x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\fs2 \red x_2 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}$

Mając możliwośc podpierania się powyższymi wzorami jesteśmy w stanie wywnioskować wiele istotnych rzeczy:

Jeżeli $\fs2 \magenta \Delta > 0$ to trójmian w postaci iloczynowej możemy zapisać: $\fs2 \magenta y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Jeżeli $\fs2 \magenta \Delta = 0$ to $\fs2 \magenta x_0 = \frac{-b-\sqrt{0}}{2a} = \frac{-b+ \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a} \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2$ zatem postać iloczynową możemy zapisać $\fs2 \magenta y=a(x-x_1)(x-x_2) \quad \Rightarrow \quad y=a(x-x_0)^2$

Jeżeli $\fs2 \magenta \Delta < 0$ to funkcji kwadratowej nie możemy zapisać w postaci iloczynowej (uzasadnienie: pierwiastek z liczby ujemniej nie istnieje)

Przechodzenie do postaci ogólnej:

Przykład 1: $\fs2 y=2(x-3)(x+1)$ ← postać iloczynowa
$\fs2 y=2(x^2 +x - 3x -3)$ ← liczymy wszystkie składniki
$\fs2 y=2x^2 +2x - 6x - 6$
$\fs2 y=2x^2 - 4x - 6$ ← postać ogólna

Przechodzenie do postaci iloczynowej z ogólnej:

Przykład 1: $\fs2 y=3x^2 - 2x-6$ ← postać ogólna
$\fs2 \Delta = (-2)^2 - 4\cdot3\cdot(-6) = 76$ ← liczymy deltę
$\fs2 \sqrt{\Delta} = \sqrt{76}$ ← liczymy pierwiastek z delty. Uwaga: nie zawsze musi wyjśc liczba naturalna!
$\fs2 \frac{2- \sqrt{76}}{6}$ ← podstawiamy do wzorów na pierwiastki
$\fs2 \frac{2+ \sqrt{76}}{6}$ ← podstawiamy do wzorów na pierwiastki
$\fs2 y=3(x - \frac{2- \sqrt{76}}{6})(x - \frac{2+ \sqrt{76}}{6})$ ← podstawiamy do wzoru postaci iloczynowej

Jak widać nie zawsze musi wyjść "ładny" wynik. Nie rzadko jednak pierwiastek z delty jest liczbą naturalną i wtedy miejsca zerowe również sa liczbami nautralnymi. Jeśli jednak wychodza dziwne wyniki dla pewności zawsze jeszcze raz można sprawdzić czy nasze obliczenia są poprawne.

by Damian Panas

komentuj publikację