[F. kwadratowa] Rozwiązywanie równań i nierówności :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F.wielomianowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

[F.liniowa] Równanie kierunkowe, równanie ogólne

[F. kwadratowa] Równania z parametrem, wzory Viete'a

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ KWADRATOWYCH

Rozwiązanie równania kwadratowego polega na obliczeniu miejsc zerowych funkcji. Jeśli więc mamy funkcję $\fs2 y=ax^2+bx+c$ to ów miejsca zerowe możemy obliczyć podstawiając uprzednio 0 zamiast y.

Wzory:
$\fs2 \blue \Delta = b^2 - 4ac$
$\fs2 \blue x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\fs2 \blue x_2 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}$

Dowód: $\fs2 \red ax^2 + bx+c=a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a}$
$\fs2 \red ax^2 + bx+c=0 \quad \Leftrightarrow \quad a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a}=0$
$\fs2 \red a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{\Delta}{4a}$

Jeśli $\fs2 \blue \Delta < 0$ to powyższe równanie jest sprzeczne
Jeśli $\fs2 \blue \Delta = 0$ to $\fs2 \blue (x + \frac{b}{2a})^2 = 0$
(skąd $\fs2 \blue x_0 = \frac{-b}{2a}$ . Zapamiętaj: pierwiastek $\fs2 \blue x_0$ nazywamy pierwiastkiem podwójnym).
Jeśli $\fs2 \blue \Delta > 0$ to $\fs2 \blue x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}$ $\fs2 \blue x_2 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}$

Przykład 1: $\fs2 y=-3x^2 + 5x + 9$

$\fs2 0 = -3x^2 + 5x + 9$ ← przyrównujemy do 0

a=-3 b=5 c=9 ← wypisujemy wszystkie współczynniki (nieobowiązkowe aczkolwiek zalecane)

$\fs2 \Delta = 5^2 - 4\cdot(-3)\cdot9 = 25 + 108 = 133$ ← liczymy deltę

$\fs2 \sqrt{\Delta} = \sqrt{133}$ ← liczymy pierwiastek z delty

$\fs2 x_1= \frac{-5- \sqrt{133}}{-6} = \frac{5 + \sqrt{133}}{6}$ ← podstawiamy do wzoru na pierwiastek

$\fs2 x_1= \frac{-5+ \sqrt{133}}{-6} = \frac{5 - \sqrt{133}}{6}$ ← podstawiamy do wzoru na pierwiastek

Odpowiedź: rozwiązaniem funkcji jest $\fs2 \frac{5 + \sqrt{133}}{6}$ oraz $\fs2 \frac{5 - \sqrt{133}}{6}$

Proste nieprawdaż? Pewno dlatego, że przykład był stosunkowo łatwy ale też samo rozwiązywanie takich zwykłych równań nie kryje w sobie niczego nadzwyczajnego. Ważne żeby wiedziec jak sie do tego zabrać.

Przejdźmy do czysto teoretycznego zagadnienia analizując równanie kwadratowe $\fs2 ax^2 + bx + c = 0$ (gdzie a ≠ 0)

Jeśli $\fs2 \Delta > 0$ to równanie ma dwa pierwiastki (rozwiązania): $\fs2 x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $\fs2 x_2 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}$

Jeśli $\Delta = 0$ to równanie ma jeden pierwiastek (podwójny): $\fs2 x_0 = \frac{-b- \sqrt{0}}{2a}=\frac{-b+ \sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}$

Jeśli $\Delta < 0$ to równanie nie ma pierwiastków (pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje)

NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE

Nierówności kwadratowe są bardzo zbliżone pod względem obliczeń do równań kwadratowych. Jednak w przeciwieństwie do równań, rozwiązywanie nierówności polega na wyznaczeniu zbioru tych wartości x, dla których nierówność jest spełniona.

Przejdźmy do przykładów:

Przykład 1: $\fs2 x^2 - x - 6 \geq 0$

$\fs2 x^2 - x - 6 = 0$ ← przyrównujemy do 0

$\fs2 \Delta = 1 - 4\cdot 1\cdot (-6) = 25$

$\fs2 \sqrt{\Delta} = 5$

$\fs2 x_1= \frac{1- 5}{2}=-2$

$\fs2 x_2= \frac{1+ 5}{2}=3$

Odpowiedź: $\fs2 x \in (-\infty ; -2> \cup <3 ; \infty)$

Przykład 2: $\fs2 \sqrt{6}x^2 + \sqrt{3}x > 0$

$\fs2 \sqrt{6}x^2 + \sqrt{3}x = 0$

$\fs2 \Delta = (\sqrt{3})^2 = 3$

$\fs2 \sqrt{\Delta} = \sqrt{3}$

$\fs2 x_1= \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2\sqrt{6}}= -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\fs2 x_2= \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2\sqrt{6}}= 0$

Odpowiedź: $\fs2 x \in (-\infty ; -\frac{\sqrt{2}}{2}> \cup <0 ; \infty)$

Przykład 3: $\fs2 5x^2 - 3x + 2 < 0$

$\fs2 5x^2 - 3x + 2 = 0$

$\fs2 \Delta = 9 - 4\cdot 5\cdot 2 = -31$

Ponieważ $\fs2 \Delta < 0$ tzn. brak miejsc zerowych.

(a>o oraz c>0) - z tego wynika, iż parabola znajduje się ponad osią OX, a to oznacza, że nierówność jest sprzeczna.
Odpowiedź: $\fs2 x \in \empty$

RÓWNANIA SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ KWADRATOWYCH

Równania tego typu obowiązują jedynie na poziomie rozszerzonym. Pomimo tego każdy, kto potrafi rozwiązywać równania kwadratowe nie powinien mieć z nimi problemów.

Przykład 1: $\fs2 y=2x^4 + 3x^2 - 5$

$\fs2 0=2x^4 + 3x^2 - 5$

Tworzymy zmienną pomocniczą t ( $\fs2 t = x^2$ )

$\fs2 0 = 2t^2 + 3t - 5$

$\fs2 \Delta = 9 + 40 = 49$

$\fs2 \sqrt{\Delta} = 7$

$\fs2 t_1= \frac{-3 - 7}{4}= -2,5$

$\fs2 t_2= \frac{-3 + 7}{4}= 1$

$\fs2 \sqrt{-2,5}$ SPRZECZNOŚĆ!

$\fs2 \sqrt{1} = |1|$

Odpowiedź: x=1 V x=-1

Przykład 2: $\fs2 x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$

warunek: x ≥ 0

$\fs2 t=\sqrt{x}$ (t ≥ 0)

$\fs2 t^2 - 3t + 2 = 0$

$\fs2 \Delta = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot1 = 1$

$\fs2 \sqrt{\Delta} = 1$

$\fs2 t_1 = \frac{3-1}{2}= 1$

$\fs2 t_1 = \frac{3+1}{2}= 2$

$\fs2 \sqrt{x} = 1$ V $\sqrt{x} = 2$

Odpowiedź: x=1 V x=4

Przykład 3: $\fs2 3(x-2) + 8\sqrt{x-2} - 3 = 0$

$\fs2 t=\sqrt{x-2}$

warunki:
$\fs2 \left\{\begin{array}{cc}x-2 \geq 0 \\ x \geq 2 \\ t \geq 0 \end{array}\right$

$\fs2 3t^2 + 8t - 3 = 0$

$\fs2 \Delta = 64 + 4\cdot3\cdot3 = 100$

$\fs2 \sqrt{\Delta} = 10$

$\fs2 t_1 = \frac{-8 - 10}{6}= -3$ SPRZECZNOŚĆ!

$\fs2 t_1 = \frac{-8 + 10}{6}= \frac{1}{3}$

$\fs2 \sqrt{x-2} = \frac{1}{3} /^2$

$\fs2 x-2 = \frac{1}{9}$

Odpowiedź: x = $\fs2 2\frac{1}{9}$

Jak widać cała filozofia polega na podstawianiu zmiennej pomocniczej t. Przed podaniem odpowiedzi pamietajmy o powróceniu do zmiennej x.

Często popełnianym błędem jest zapowinanie o tym, iż np $\fs2 \sqrt{4} = 2$ , a przecież $\fs2 \sqrt{4} = |2|$ . Wydawać się to może szczegółowa różnica jednak na tym poziomie jest to istotne, gdyż w przypadku równań dwukwadratowych nasza odpowiedź może okazać sie niepełna.

by Damian Panas

komentuj publikację