[F.liniowa] Równanie kierunkowe, równanie ogólne :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F. kwadratowa] Postać ogólna, kanoniczna, iloczynowa

List- przykładowe zdania

[Funkcje] Pojęcie funkcji

[Funkcje] Przebieg zmienności funkcji

Charakterystyka postaci

[Ogólna] Wiązania chemiczne

RÓWNANIE KIERUNKOWE

Wzór na postać kierunkową:
$\red y=ax+b$
(gdzie x należy do wszystkich liczb rzeczywistych oraz a i b są stałymi)

Stała a - zwana także współczynnikiem kierunkowym prostej bądź (w przypadku gdy b=0 możemy ją nazwać także współczynnikiem proporcjonalności). Pozwala na odczytanie wielu ważnych informacji o funkcji:

Jeżeli a>0 to funkcja jest rosnąca
Jeżeli a=0 to funkcja jest stała
Jeżeli a<0 to funkcja jest malejąca
Jeżeli a≠0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe $\fs2 (x=-\frac{b}{a})$

Współczynnik kierunkowy możemy bezpośrednio obliczyć mając podane dwa różne punkty $\fs2 (x_1;y_1)$ oraz $\fs2 (x_2;y_2)$ przechodzące przez prostą wyrażoną wzorem $\fs2 y=ax+b$ za pomocą wzoru:

$a=\frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}$

Współczynnik kierunkowy a prostej $\fs2 y=ax+b$ jest równy tangensowi kąta $\fs2 \alpha$ , jaki prosta ta tworzy z osią OX: $\fs2 \blue a=\ \mbox{tg}\ \alpha$

Stała b - mówi nam o miejscu przecięcia z osią OY w punkcie (0,b)

Przykładowe wykresy funkcji f(x):

Zapamiętaj! Funkcja $\fs2 \red y=ax+b$ :

Ma jedno miejsce zerowe gdy a≠0
Nie ma miejsc zerowych gdy a=0 oraz b≠0
Ma nieskończenie wiele miejsc zerowych gdy a=0 oraz b=0

Przykład 1Dana jest funkcja $\fs2 f(x)=-x+2:$
a) Znajdź miejsca zerowe tej funkcji
b) Podaj współrzędne punktu przeciecia z osią OY.
c) Podaj argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą 5.
d) Podaj zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.

a) Miejsce zerowym nazywany punkt przecięcia z osią OX. Możemy je wyznaczyć ze wzoru: $\fs2 x=\frac{-b}{a}$
$\fs2 x_0=\frac{-b}{a}=\frac{-2}{-1}=2$

b) Punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0;b). Jako, że b=2, możemy zapisać, że PP(0;2). Warto również zwrócić uwagę na to, iż w tym punkcie argument (czyli x) wynosi 0. Można zatem rozwiązać równanie: $\fs2 y= -1 \cdot 0 +2 = 2$ .

c) Mając podaną wartość, czyli y, która wynosi 5, musimy wyznaczyć x:
$\fs2 y=-x+2$

$\fs2 5=-x+2$

$\fs2 x=2-5=-3$

$\fs2 f(5)=-3$

d) Musimy podać zbiór x, dla których y będzie większy lub równe 0:
$\fs2 y \geq 0$
Wiedząc, że y=-x+2 podstawiamy za y wyrażenie –x+2.
$\fs2 -x +2 \geq 0$
$\fs2 2 \geq x$
W przypadku nierówności warto także zaznaczyć rozwiązanie na osi liczbowej:

$x \in (- \infty ; 2 >$

Przykład 2Zbadaj monotoniczność funkcji w zależności od parametru m: $\fs2 f(x)=(\frac{1}{2} - 2m)x - 4$

Badanie monotoniczności funkcji polega na wyznaczeniu przedziałów, w których funkcja jest rosnąca (a>0), malejąca (a<0) lub stała (a=0). Współczynnik kierunkowy wynosi: $\fs2 a=\frac{1}{2} - 2m$ zaś wyraz wolny $\fs2 b=-4$
$a=\frac{1}{2} - 2m$

Funkcja jest rosnąca dla a>0; stała dla a=0; malejąca dla a<0.

$\fs2 \frac{1}{2} - 2m > 0$ ← funkcja rosnąca
$\fs2 \frac{1}{2} > 2m /:2$
$\fs2 m < \frac{1}{4}$

$\fs2 \frac{1}{2} - 2m = 0$ ← funkcja stała
$\fs2 \frac{1}{2} = 2m /:2$
$\fs2 m = \frac{1}{4}$

$\fs2 \frac{1}{2} - 2m < 0$ ← funkcja malejąca
$\fs2 \frac{1}{2} < 2m /:2$
$\fs2 m > \frac{1}{4}$

Odpowiedź: funkcja jest rosnąca dla $\fs2 m < \frac{1}{4}$ ; stała dla $\fs2 m = \frac{1}{4}$ ; malejąca dla $\fs2 m > \frac{1}{4}$ .

RÓWNANIE OGÓLNE

Wzór równania ogólnego prostej:
Ax + By + C = 0

(gdzie A≠0 lub B≠0)

Przykład 1:
Zapisz równanie $y=\frac{1}{4}x + 2$ w postaci ogólnej:
$y=\frac{1}{4}x + 2$ ← postać kierunkowa
$y -\frac{1}{4}x -2=0$ ← przesuwamy wszystko na jedną stronę
- $\frac{1}{4}x + y - 2=0$ ← postać ogólna

Przykład 2:
Zapisz równanie $\frac{1}{8}y + \frac{1}{2}=0$ w postaci kierunkowej:
$\frac{1}{8}y + \frac{1}{2}=0$ ← postać ogólna
$\frac{1}{8}y=-\frac{1}{2}/ \cdot8$
y=-4

← postać kierunkowa

Własności równania ogólnego:
Jeżeli A=0 to prosta jest równoległą do osi OX
Jeżeli B=0 to prosta jest równoległa do osi OY
Jeżeli C=0 to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych

Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty A=(x_A;y_A)

.

Jeżeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej:

A_1x + B_1y + C_1 = 0

to:

są równoległe, gdy
są prostopadłe, gdy
tworzą kąt taki, że ° $< \alpha < 90$ ° i $tg\alpha = \frac{|A_1B_2 - A_2B_1|}{|A_1A_2 + B_1B_2|}$

Bezpośrednio wzór ogólny prostej możemy wykorzystać także przy liczeniu odległości punktu od prostej.
$d=\frac{|A_x_0 + B_y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
gdzie:
współrzędne punktu P to (x_0;y_0)

prosta l wyrażona jest równaniem A_x + B_y + C = 0

(odległość punktu P od prostej l to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt P z punktem na prostej l, tworząc odcinek prostopadły do prostej l)

PROSTOPADŁOŚĆ I RÓWNOLEGŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI

Wykresy funkcji liniowych są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy a jest taki sam.

Przykład 1:
Która prosta jest równoległa do prostej

$y=\frac{1}{2}x-2$ ?

l_1:

$y=-\frac{1}{2}x$
l_3:

$y=\frac{1}{2} - 2x$
l_4:

$y=8 - \frac{1}{2}x$
l_5:

$y=\sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Odpowiedź: $l \parallel l_5$ gdyż współczynnik kierunkowy jest taki sam i wynosi $a=\frac{1}{2}$ .

Prostopadłość prostych (a≠0) oraz istnieje wówczas, gdy $a\cdot a_1 = -1$ $(a_1=-\frac{1}{a})$ .

Przykład 1:
Sprawdź, czy prosta y=-2x

oraz $y=\frac{1}{4}x-2$ są prostopadłe.
a=-2

oraz $a_1=\frac{1}{4}$
- $2\cdot\frac{1}{4}=-1$ ← sprzeczność!

Odpowiedź: proste nie są prostopadłe.

Przykład 2:
Napisz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt P=(1;9) do prostej

.

- $0,1\cdot a_1 = -1 / \cdot (-10)$ ← korzystamy ze wzoru na prostopadłość
a_1 = 10

Mamy więc prostą l_2:

Za x oraz y podstawiamy współrzędne punktu P.
9=10 + b_1

Odpowiedź: równanie tej prostej to y=10x-1.

komentuj publikację