[Funkcje] Pojęcie funkcji :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[TEORIA ZBIORÓW] Pojęcie zbioru, działania na zbiorach

Tożsamość płciowa, a zachowania agresywne młodzieży.

[Logika] Tautologia rachunku zdań, funkcje zdaniowe

Pojęcie funkcji

Poniżej przedstawiam pojęcie funkcji oraz najważniejsze własności, które pozwalają ściśle charakteryzować funkcję. Temat obejmuje zarówno zakres omawiany w gimnazjum czy liceum a także zawiera sformułowania akademickie.

Podczas omawiania wybranego pojęcia może się zdarzyć, że podawane są dwie definicje zarówno szkolna jak i akademicka oznaczona symbolem (***)

(***) W temacie używam kwantyfikatorów powszechnie stosowanych w krajach Unii Europejskiej:
$\forall$ oznaczający dla każdego (ang. for all) - dawniej używane $\bigwedge$
$\exist$ oznaczający istnieje (ang. exist) - dawniej używane $\bigvee$

1. Definicja funkcji

Prześledźmy pewną sytuację:
Nowi uczniowie klasy I b przychodzą do szkoły na swoją pierwszą lekcję. Na początku zajęć nauczyciel czyta listę obecności, mówiąc każdemu z uczniów jaki ma numer w dzienniku. Takie przyporządkowanie będziemy nazywać funkcją.
Zauważmy, że każdy z uczniów posiada swój własny numer w dzienniku i każdy uczeń ma dokładnie jeden taki numer.

Def (Szkolna): Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y.
Zapisujemy to $f:\; X\to Y$

(***) Aby sformułować definicję formalną (akademicką) potrzebne są następujące definicje:

Def: Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór par uporządkowanych (x,y), takich, że $x\in X$ oraz $y\in Y$ . Iloczyn kartezjański tych zbiorów zapisujemy jako $X\times Y$ . Formalnie możemy to zapisać jako:

$X\times Y=\{(x,y)\; : \;x\in X\; \wedge\; y\in Y \}$

Def: Relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego.

Przykład 1 (życiowy): Niech zbiór X będzie zbiorem wszystkich użytkowników forum.servis.pl. Niech $\varrho$ będzie relacją określoną następująco:
Użytkownik $a\in X$ jest w relacji $\varrho$ z użytkownikiem $b\in X$ jeśli

napisał nie mniej postów niż

i zapisujemy $a\;\varrho\; b$ lub $(a,b)\in\varrho$
Możemy wymienić kilka cech takiej relacji, np:
- przechodniość, to znaczy

$\forall_{a,b,c\in X}\quad a\;\varrho\; b \;\wedge\; b\;\varrho\; c \;\Rightarrow\; a\;\varrho\; c$

- zwrotność, czyli

$\forall_{a\in X}\quad a\; \varrho \; a$

Def: Funkcją nazywamy relację $f\subset X\times Y$ o własnościach:
i) istnienie

$\forall_{x\in X}\;\;\exist_{y\in Y}\;\; (x,y)\in f$

ii) jednoznaczość

$\forall_{y_1,y_2\in Y}\;\; (x,y_1)\in f\;\wedge\;(x,y_2)\in f \;\Rightarrow\; y_1=y_2$

Dzięki tym warunkom zamiast pisać $(x,y)\in f$ możemy napisać, że y=f(x)

Zbiór

nazywamy dziedziną funkcji f (D_f)

a jego elementy nazywamy argumentami.
Zbiór

nazywamy przeciwdziedziną, zawiera on wartości funkcji.

W naszym przykładzie dziedziną jest zbiór uczniów klasy Ib, a przeciwdziedziną zbiór numerów z dziennika. Zauważmy, że w tym przypadku przeciwdziedzina zawiera wszystkie możliwe wartości funkcji. Mówimy wtedy, że przeciwdziedzina równa jest zbiorowi wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji jest to zbiór zawierające wszystkie możliwe do uzyskania wartości funkcji.

(***) Zbiorem wartości funkcji $f: X\to Y$ nazywamy zbiór

$\{y\in Y:\;\exist_{x\in X}\;\; y=f(x) \}$

2. Funkcja jako maszynka

Z worka Dziedzina funkcji f wybieramy pojedynczo kolejno wszystkie iksy i wkładamy do maszynki, po czym maszynka zwraca wartość f(x) dla danego x. Element ten wpada do worka Zbiór wartości funkcji f. Maszynka jest zaprogramowana tak, że każdemu x którego do niej wrzucamy ona przypisuje dokładnie jedną i konkretną wartość f(x).

Kiedy taka maszynka może się popsuć? Jakie są objawy tego, że maszynka się popsuła?

- maszynka przyjmuje pojedynczy x i nie zwraca żadnej wartości
- maszynka przyjmuje pojedynczy x a zwraca więcej niż jedną wartość
- nie przyjmuje wszystkich x

Możemy, więc powiedzieć, że maszynka działa poprawnie jeśli przyjmuje wszystkie iksy i dla każdego z nich zwraca dokładnie jedną wartość.

Polecam wrócić do sformułowania definicji funkcji i przekonać się jak silna analogia wiąże obie sytuacje. Wykorzystując pojęcie maszynki, bądź definicję możemy rozwiązać poniższe zadanie.

Przykład 2 : Czy dane przyporządkowanie jest funkcją?
a) Każdemu człowiekowi przyporządkowujemy średnią liczbę włosów na głowie w wieku 20 lat.
TAK, bo każdy człowiek posiada pewną liczbę włosów (0 to też ilość włosów!) i każdy posiada dokładnie jedną taką liczbę.

b) Każdemu państwu Unii Europejskiej przyporządkowujemy kolor jego flagi.
NIE, bo są kraje których flagi mają więcej niż jeden kolor.

c) Każdej liczbie całkowitej przyporządkowujemy jej odwrotność.
NIE, nasza maszynka przyjmuje kolejno liczby całkowite ujemne i oddaje odwrotności. Przyjmując 0 nie da nam żadnej wartości, bo 0 nie posiada liczby do siebie odwrotnej. Zatem, maszynka "zatnie się" dla argumentu x=0. Skoro maszynka nie działa poprawnie, to przyporządkowanie nie może być funkcją.

d) Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy jego pole.
TAK, maszynka nie ma prawa zaciąć się skoro dowolny trójkąt posiada pole.

e) Każdej liczbie naturalnej $n\geq 1$ przyporządkowujemy jej odwrotność.
TAK, odwołując się do punktu c) nie musimy się już obawiać o 0, bo bierzemy liczby większe od zera. Każda liczba naturalna większa od zera posiada liczbę do siebie odwrotną.

3. Pojęcia związane z funkcją (poziom ponadgimnazjalny)

Def: Wykresem funkcji $f:X\to Y$ nazywamy zbiór wszystkich par (x,y)

takich, że y=f(x)

Def: Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy:

a) rosnącą, jeśli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

$\forall_{x_1,x_2}\;\; x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

b) malejącą, jeśli wraz ze zmniejszaniem się argumentów zmniejszają się wartości funkcji.

$\forall_{x_1,x_2}\;\; x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

c) stałą, jeśli dla dowolnego argumentu wartość funkcji jest liczbą stałą

$\exist_{c}\;\forall_{x}\;\; f(x)=c$

d) niemalejącą, jeśli

$\forall_{x_1,x_2}\;\; x_1\geq x_2 \Rightarrow f(x_1)\geq f(x_2)$

e) nierosnącą, jeśli

$\forall_{x_1,x_2}\;\; x_1\leq x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)$

Def: Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy parzystą, o ile dziedzina jest symetryczna względem 0 oraz wartości na argumentach przeciwnych są równe, czyli:

$\forall_{x\in D_f} \;\;-x\in D_f \;\wedge\; f(-x)=f(x)$

Przykłady funkcji parzystych:
$f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}\qquad f(x)=|x|$
$f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}\qquad f(x)=\cos x$
$f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}\qquad f(x)=x^4$

Def: Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy nieparzystą, o ile dziedzina jest symetryczna względem 0 oraz wartości na argumentach przeciwnych są przeciwne, czyli:

$\forall_{x\in D_f} \;\;-x\in D_f \;\wedge\; f(-x)=-f(x)$

Przykłady funkcji nieparzystych:
$f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}\qquad f(x)=kx$ (f. liniowa)
$f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}\qquad f(x)=\sin x$
$f:\; -\frac{\pi}{2}\to\frac{\pi}{2}\qquad f(x)=tg\; x$

Przykład 3 : Zbadaj czy parzystość lub nieparzystość funkcji f:
a) $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad f(x)=2x^3$
b) $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad f(x)=|x|$

Rozwiązanie:
Ad a) Weźmy $x\in D_f$ . Wówczas $- x\in D_f$ bo $D_f=\mathbb{R}$ .

f(-x)=2(-x)^3=-2x^3=-f(x)

, czyli

Zgodnie z podanymi wyżej definicjami f jest nieparzysta.

Ad b) Weźmy $x\in D_f$ . Wówczas $- x\in D_f$ bo $D_f=\mathbb{R}$ .

$f(-x)=|-x|=|-1\cdot x|=|-1|\cdot|x|=|x|=f(x)$ , czyli f(-x)=f(x)

Zgodnie z podanymi wyżej definicjami f jest parzysta.

Def: Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy różnowartościową, jeżeli dla dowolnych różnych argumentów przyjmuje różne wartości.

$\forall_{x_1,x_2}\;\; x_1\neq x_2\;\Rightarrow\; f(x_1)\neq f(x_2)$

powyższy warunek jest trudny do sprawdzenia (chociażby ze względu na to, że łatwiej operować na "równościach" niż "różnościach"), korzystając z prawa kontrapozycji implikacji możemy zapisać warunek na różnowartościowość funkcji :

$\forall_{x_1,x_2}\;\; f(x_1)=f(x_2)\;\Rightarrow\; x_1=x_2$

Przykład 4 : Sprawdź czy funkcja f jest różnowartościowa:
a) f(x)=3x^2+8

b) $f(x)=\sqrt{2x}$

Rozwiązanie:
Ad a) Weźmy dowolne x_1

i $x_2\in D_f$ i niech f(x_1)=f(x_2)

, czyli

$3x_1^2+8=3x_2^2+8\;\backslash -8$ (odejmujemy obustronnie 8)

$3x_1^2=3x_2^2\;\backslash :3$ (dzielimy obustronnie przez 3)

$x_1^2=x_2^2\;\backslash\sqrt{()}$ (rozwiązujemy względem x_1

, pierwiastkując)

$x_1=+\sqrt{x_2^2}\;\vee\;x_1=-\sqrt{x_2^2}$

$x_1=x_2 \;\vee\;x_1=-x_2$

Z powyższego warunku nie wynika, że x_1=x_2

(bo równie dobrze może być x_1=-x_2

), zatem f - nie jest różnowartościowa.

Ad b) Weźmy dowolne x_1

i $x_2\in D_f$ i niech f(x_1)=f(x_2)

, czyli

$\sqrt{2x_1}=\sqrt{2x_2}\;\backslash ()^2$ (podnosimy obustronnie do kwadratu)

$2x_1=2x_2\;\backslash :2$ (dzielimy obustronnie przez 2)

x_1=x_2

Zgodnie z definicją funkcja jest różnowartościowa.

Def: Funkcja $f:X\to Y$ jest "na" jeśli zbiór wartości funkcji równy jest przeciwdziedzinie, czyli

$\forall_{y\in Y}\; \exist_{x\in X}\;\; y=f(x)$

Przykład 5 : Własności funkcji f(x)=x^2

a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

- jest parzysta
- nie jest różnowartościowa
- nie jest "na"

b) $f:\mathbb{R}\to [0,+\infty )$

- jest parzysta
- nie jest różnowartościowa
- jest "na"

c) $f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$

- nie jest parzysta
- jest różnowartościowa
- jest "na"

Literatura:
1. J. Kraszewski. Wstęp do matematyki
2. L. Kurlyandchik. Zbiór zadań z matematyki elementarnej tom 2.
3. A. Drążek. Matematyka wokół nas 2.

Niebieskim oznaczona jest literatura akademicka.

Przemysław Szydzik

komentuj publikację