[Funkcje] Przebieg zmienności funkcji :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F.liniowa] Układy równań i nierówności

[F.liniowa] Równania z parametrem

[Algebra liniowa] Macierze

[Algebra liniowa] Liczby zespolone

[F. kwadratowa] Postać ogólna, kanoniczna, iloczynowa

[F. kwadratowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

FUNKCJA LINIOWA

Wzór:

Dziedzina: $x \in R$
Przebieg zmienności:
- brak ekstremów
- funkcja zawsze rosnąca, jeśli a > 0
- funkcja zawsze malejąca, jeśli a < 0
- funkcja stała, jeśłi a = 0

FUNKCJA KWADRATOWA

Wzór: $y=ax^2+bx + c \qquad \small\text{(a \not= 0)}$
Dziedzina: $x \in R$
Przebieg zmienności:
- ekstremum w punkcie $\fs1 (-\frac{b}{2a}; -\frac{b^2-4ac}{4a})$ , jest to maksimum dla a<0, minimum dla a>0
- jeśli a > 0, to funkcja jest malejąca dla $\fs1 x \in (- \infty; -\frac{b}{2a})$ i rosnąca dla $\fs1 x \in (-\frac{b}{2a}; \infty)$
- jeśli a < 0, to funkcja jest rosnąca dla $\fs1 x \in (- \infty ; \frac{b}{2a})$ i malejąca dla $\fs1 x \in (-\frac{b}{2a}; \infty)$

HIPERBOLA

Wzór: $y=\frac{a}{x}$ Jeśli a=0, to funkcja degeneruje się do osi OX bez punktu (0,0)
Dziedzina: $x \in (-\infty;0)\cup(0; \infty)$
Przeciwdziedzina: $y \in (-\infty;0)\cup(0; \infty)$
Przebieg zmienności:
$\fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}f(x)=0$
- brak ekstremów
- jeśli a>0, to funkcja jest malejąca w całej dziedzinie
- jeśli a<0, to funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie
- osie OX i OY są asymptotami hiperboli
Postać równania hiperboli jako krzywej stożkowej: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

FUNKCJA HOMOGRAFICZNA

Wzór: $y=\frac{ax+b}{cx+d} \qquad \fs2 \text{Warunek: } a\not=0 \qquad \text{(W=ad -bc)}$
Przypadek szczególny: $\red \tiny c=0, \quad \text{ale} \quad d\not=0$ , to funkcja degeneruje się do prostej.
Dziedzina: $x \in R-\{\frac{-d}{c}}$
Przeciwdziedzina: $y \in R-\{\frac{a}{c}}$
Przebieg zmienności:
$\fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{a}{c}$
- asymptota pozioma $y=\frac{a}{c}$ , asymptota pionowa $x = -\frac{d}{c}$
- brak ekstremów
- jeśli W>0, to funkcja jest zawsze rosnąca
- jeśli W>0, to funkcja jest zawsze malejąca

FUNKCJA WYKŁADNICZA

Wzór: $y=a^x \qquad \fs2 \text{Warunek: } a>0 \qquad \text{(W=ad -bc)}$
Przypadek szczególny: jeśli a=1 to funkcja degeneruje się do prostej y=1
Dziedzina: $x \in R$
Przeciwdziedzina: $y \in R_+$
Przebieg zmienności:
- oś OX jest asymptotą poziomą
- brak ekstremów i miejsc zerowych
- jeśli a>1, to funkcja jest zawsze rosnąca i $\fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) = 0, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
- jeśli a<0, to funkcja jest zawsze malejąca i $\fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) =\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=0$

FUNKCJA $\fs5 y=\sqrt{x}$

Wzór: $y=\sqrt{x}$
Dziedzina: $x \in R_+ \cup \{0}$
Przebieg zmienności:
$\fs1 \lim_{x\to\infty}f(x) = \infty$
- brak asymptot
- najmniejsza wartość (y=0) dla x=0
- funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie
Uwaga: inną funkcją otrzymuje się wybierając ujemny znak pierwiastka, $\fs2 y=-\sqrt{x}$

FUNKCJA LOGARYTMICZNA

Wzór: $y=\log_ax \qquad \fs2 \text{Warunek: } a>0, \quad a\not=1$
Dziedzina: $x \in R_+$
Przeciwdziedzina: $y \in R$
Przebieg zmienności:
$\fs1 \lim_{x\to\infty}f(x) = \infty$
- brak ekstremów
- oś OY jest asymptotą pionową
- jeśli a>0, to funkcja jest zawsze rosnąca, $\fs1 \lim_{x\to0}f(x) =-\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
- jeśli a<0, to funkcja jest zawsze malejąca, $\fs1 \lim_{x\to0}f(x) =\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$

FUNKCJA SINUS

Wzór: $y=\sin x$
Dziedzina: $x \in R$
Przeciwdziedzina: $y \in \text{<-1 ; 1>}$
Przebieg zmienności:
- brak asymptot
- granice dla $x\to-\infty$ oraz $x\to\infty$ nieokreślone
- maksima dla $\fs2 x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$
- minima dla $\fs2 x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$
- miejsca zerowe $x=k\pi$
- funkcja jest rosnąca dla $\fs2 x \in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi ; \frac{\pi}{2}+2k\pi)$
- funkcja jest malejąca dla $\fs2 x \in (\frac{\pi}{2}+2k\pi ; \frac32 \pi + 2k\pi)$

FUNKCJA COSINUS

Wzór: $y=\cos x$
Dziedzina: $x \in R$
Przeciwdziedzina: $y \in \text{<-1 ; 1>}$
Przebieg zmienności:
- brak asymptot
- granice dla $x\to-\infty$ oraz $x\to\infty$ nieokreślone
- maksima dla $\fs2 x=2k\pi$
- minima dla $\fs2 x=(2k+1)\pi$
- miejsca zerowe $\fs2 x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
- funkcja jest rosnąca dla $\fs2 x \in ( (2k-1)\pi ; 2k\pi)$
- funkcja jest malejąca dla $\fs2 x \in (2k\pi ; (2k+1)\pi)$

FUNKCJA TANGENS

Wzór: $y=\text{tg} x$
Dziedzina: $x \in R-\{x: x=\frac{\pi}{2}+k\pi ; x \in C}$
Przeciwdziedzina: $y \in R$
Przebieg zmienności:
- asymptoty pionowe $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
- granice dla $x\to-\infty$ oraz $x\to\infty$ nieokreślone
- brak ekstremów
- miejsca zerowe $x=k\pi$
- funkcja rośnie dla wszystkich x, należących do dziedziny

FUNKCJA ARCUS TANGENS

Wzór: $y=\text{arc tg} x$
Dziedzina: $x \in R$
Przeciwdziedzina: $y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Przebieg zmienności:
$\fs1 \lim_{x\to-\infty}f(x) =-\frac{\pi}{2} \qquad \lim_{x\to\infty}f(x) =\frac{\pi}{2}$
- asymptoty poziome $\rs2 y=\pm\frac{\pi}{2}$
- brak ekstremów
- miejsce zerowe $\rs2 x=0$
- funkcja rośnie dla wsystkich x

FUNKCJA ZNAKOWA

Wzór: $y=\text{sgn} x \qquad\qquad \fs2 y= \left\{\begin{array}{ccc} -1 \quad \text{dla} \quad x<0 \\ 0 \quad \text{dla} \quad x=0 \\ 1 \quad \text{dla} \quad x>0\end{array}\right$
Dziedzina: $x \in R$
Przeciwdziedzina: $y \in \{-1;0;1}$
Przebieg zmienności:
- funkcja nieciągła dla x=0

FUNKCJA WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA

Wzór: $y=|x| \qquad\qquad \fs2 y= \left\{\begin{array}{cc} -x \quad \text{dla} \quad x<0 \\ x \quad \text{dla} \quad x\geq 0\end{array}\right$
Dziedzina: $x \in R$
Przeciwdziedzina: $y \in R_+\cup \{0}$
Przebieg zmienności:
- pierwsza pochodna nieciągła dla x=0

komentuj publikację