[F.wielomianowa] Rozkład na czynniki, dodawanie, mnożenie, dzielenie wielomianów :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F. kwadratowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

[F.wielomianowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

Studium przypadku - dziecko z nadpobudliwością psychoruchową

Na pierwszy rzut oka rozwiązywanie wielomianów może wydawać się trudne i skomplikowane. Wbrew pozorom wcale tak nie jest. Po zapoznaniu się z pewnymi krokami i rozwiązaniu kilkunastu przykładów wszystko powinno stać się o wiele łatwiejsze.

Ogólna postać wielomianu:
$\red w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\text{...}+a_1x+a_0$

Zanim zaczniemy rozkładać wielomian na czynniki musimy nauczyć się wyznaczać stopień oraz współczynniki wielomianu. Prędzej czy później ta umiejętność na pewno nam się przyda.

Myślę, że najłatwiej to przedstawić na przykładzie:

Stopień wielomianu to najwyższa potęga znajdująca się przy zmiennej x. W tym przypadku jest to 4, a więc: $\fs2 st(w)=4$

Współczynniki wielomianu mówiąc kórtko, to liczby: $\fs2 a_n \quad ; \quad a_{n-1} \quad ; \quad a_1 \quad ; \quad a_0$ . W naszym przypadku są to:
$\fs2 a_4=8 \quad ; \quad a_3=3 \quad ; \quad a_2=-1 \quad ; \quad a_1=-11 \quad ; \quad a_0=-1$

ROZKŁAD NA CZYNNIKI

Od razu nasuwa się pytanie - Po co? Otóż rozkład na czynniki potrzebny jest nam do zapisania wielomianu w postaci iloczynowej. Ci, którzy mieli już kontakt z funkcją kwadratową doskonale wiedzą, że z postaci iloczynowej możemy odczytać pierwiastki, a więc rozwiązania funkcji.

Jest kilka sposobów rozkładu wielomianów. Jako, że jesteśmy ambitnymi matematykami, to będziemy starali się korzystać z możliwie najprostszego sposobu:

1. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.

Stosujemy tylko wtedy, gdy $\fs2 a_0=0$

w(x)=20x^3-24x^2+72x=4x(5x^2-6x+18)

Ta metoda chyba nie wymaga jakiegoś specjalnego komentarza. Należ tylko sprawdzić, czy $\fs2 5x^2-6x+18$ nie da się rozłożyć (licząc deltę.. itd.)

2. Grupowanie wyrazów.

Ta metoda nie jest już taka oczywista. Nie ma co się oszukiwać - trzeba zrobić wiele przykładów, żeby nauczyć się sprawnie z niej korzystać:

$\fs2 w(x)=2x^3 - 6x^2 + 5x - 15=2x^2(x-3)+5(x-3)=(2x^2+5)(x-3)$

Sekret tkwi w tym, abyśmy w obu nawiasach mieli także samo wyrażenie. Następnie, to co wyłączyliśmy przed nawsami zapisujemy razem w jednym nawiasie i mnożymy prze w.w. wyrażenie.

3. Stosowanie wzorów skróconego mnożenia.

Tutaj chyba nie trzeba nic tłumaczyć By móc korzystać z tej metody trzeba po prostu znać wzory skróconego mnożenia.

$\fs2 w(x)=x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)=(x-3)(x+3)(x^2+9)$

4. Rozkład trójmianu kwadratowego.

Każdy, kto miał już kontakt z funkcją kwadratową nie powinien mieć kłopotów z tą metodą.

Jeśli nie wiesz jak się rozwiązuje równania kwadratowe to zapraszam TUTAJ

Jeśli wiesz, to tylko przypomnę:

$\fs2 \Delta=b^2-4ac$

$\fs2 \Delta < 0$ - trójmianu nie można rozłożyć
$\fs2 \Delta = 0 \quad ; \quad x_0=\frac{-b}{2a} \quad ; \quad y=a(x-x_0)^2$

$\fs2 \Delta > 0 \quad ; \quad x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad ; \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad ; \quad y=a(x-x_1)(x-x_2)$

5. Dzielenie wielomianu.

Pozornie najtrudniejsza metoda. tak naprawdę jest ona bardzo łatwa, niestety zdecydowanie najbardziej czasochłonna. Dlatego też nauczyciele mówią o niej na samym końcu. Bo tak to wszyscy chcieliby tylko dzielić :)

Metoda ta wymaga nieco większej uwagi, dlatego też opisana zostanie nieco dalej.

DODAWANIE WIELOMIANÓW

Sprawa jest tak banalna, że po minucie już wszystko będziecie wiedzieć. Przejdźmy od razu do przykładu:

Wyznacz sumę w(x)+u(x)

$\fs2 u(x)=5x^9+2x^8+4x^4 + 2x + 1$
$\fs2 w(x)=-2x^8-6x^4-x-\frac12$

$\fs2 u(x)+w(x)=(5x^9+2x^8+4x^4+2x+1)+(-2x^8-6x^4-x-\frac12)=$
$= 5x^9+2x^8+4x^4+2x+1-2x^8-6x^4-x-\frac12=5x^9-2x^4+x+\frac12$

Jak widać jedyne co trzeba zrobić to opuścić nawiasy i uporządkować wielomian. Pamiętajcie tylko, że gdy przed nawiasem jest minus to opuszczając go musimy zmieniać znaki.

Dla powtórzenia możemy podać stopień oraz współczynniki otrzymanej sumy:

$\fs2 st(u+w)=9$

$\fs2 a_9=5 \quad ; \quad a_8=0 \quad ; \quad a_7=0 \quad ; \quad a_6=0 \quad ; \quad a_5=0$
$\fs2 a_4=-2 \quad ; \quad a_3=0 \quad ; \quad a_2=0 \quad ; \quad a_1=1 \quad ; \quad a_0=\frac12$

MNOŻENIE WIELOMIANÓW

Tutaj także nie powinno być nic, co mołoby sprawić trudności. Niestety, nie obejdziemy się bez wzorów skróconego mnożenia (ich znajomośc jest naprawdę bardzo ważna!).

Wyznacz iloczyn $w(x) \cdot q(x)$
$\fs2 w(x)=2x-3$
$\fs2 q(x)=(x-1)^2$

$\fs2 w(x)\cdot q(x)=(2x-3)(x-1)^2=(2x-3)(x^2-2x+1)=$
=2x^3-4x^2+2x-3x^2+6x-3=2x^3-7x^2+8x-3

Mnożymy przez siebie wszystkie wyrazy, a następnie porządkujemy wielomian. W przypadku mnożenia jest jeszcze mała różnica dotycząca stopnia wielomianu. A mianowicie stopień wielomianu $\fs2 st(w \cdot q)$ jest równy sumie stopnii wielomianów $\fs2 st(w)$ i $\fs2 st(q)$ .

$st(w \cdot q)=st(w)+st(q)$

DZIELENIE WIELOMIANÓW

Dzielenie wielomianu to jeden ze sposobów rozkładu na czynniki. Stosujemy go dopiero wtedy, gdy nie jesteśmy w stanie zastosować innych metod.

Twierdzenie Bezouta:
Jeśli wielomian $\red w$ jest podzielny przez dwumian $\red x-a$ , to liczba $\red a$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Jak w ogóle rozumieć to twierdzenie? Do czego ono nam się przyda? Naturalnie, wszystko po to, abyśmy mogli rozłożyć wielomian na czynniki. Twierdzenie Bezouta pozwala nam na rozkład bez reszty, która byłaby sumą w postaci iloczynowej. Mając reszte w postaci iloczynowej automatycznie pozbawiamy się możliwości podstawiania danego wyrażenia do zera (musielibyśmy podstawiać do liczby przeciwnej do reszty).

Mówiąc krótko, reszta z dzielenia jest prawdziwą kulą u nogi przy rozkładzie na czynniki. Na szczęście twierdzenie Bezouta umożliwia nam rozkład wielomianu bez reszty.

Sprawdź, czy w(x)

jest podzielny przez q(x)

$\fs2 w(x)=x^3+2x^2-3x-10$
$\fs2 q(x)=x-2$

Sprawdzamy, czy a=2 jest piewiastkiem wielomianu $\fs2 w(x)$
$\fs2 w(a)=w(2)\overset{?}=0$

$\fs2 w(2)=2^3+2\cdot2^2-3\cdot2-10=8+8-6-10=0$

$\fs2 w(2)=0$ , a więc 2 jest pierwiastkiem wielomianu $\fs2 w$ . Na mocy twierdzenia Bezouta można stwierdzić, że $\fs2 w(x)$ jest podzielny przez $\fs2 q(x)$ .

Sprawdź, czy w(x)

jest podzielny przez q(x)

$\fs2 w(x)=x^4+x^3-4x^2+5x-3$
$\fs2 q(x)=(x-1)(x+3)$

W tym przypadku $\fs2 q(x)$ ma dwa pierwiastki. Wielomian $\fs2 w(x)$ będzie podzielny przez $\fs2 q(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki wielomianu $\fs2 q(x)$ są pierwiastkami $\fs2 w(x)$ .

$\fs2 w(1)=1+1-4+5-3=0$
$\fs2 w(-3)=81-27-36-15-3=0$

W każdym z równań wyszło zero, a więc $\fs2 w(x)$ jest podzielny przez $\fs2 q(x)$ . Jeśli choćby w jednym z równań wyszłaby liczba różna od zera to wielomian $\fs2 w(x)$ nie byłby podzielny przez $\fs2 q(x)$ .

Najwyższa pora przejśc do samego dzielenia. Generalnie rzecz biorąc są trzy sposoby: piesmnie, schematem Hornera i kodowaniem. Opisze tylko dwa pierwsze. Uważam, że są bardzo dobre i polecam zapoznanie się z nimi. Kodowanie możecie potraktować jako swoistego rodzaju ciekawostkę. Nieznajomość tej metody napewno nie wpłynie na naszą karierę matematyczną :)

Sposób 1 - pisemnie. Wyznacz w(x) : p(x)

$\fs2 w(x)=x^3+2x^2+x+5$
$\fs2 p(x)=x+2$

Na początku zapisujemy lewą stronę równania:
$\fs2 (x^3+2x^2+x+5):(x+2)=\text{...}$

Następnie dzielimy pierwszy wyraz wielomianu $\fs2 w$ przez pierwszy wyraz wielomianu $\fs2 p$
$\fs2 (x^3+2x^2+x+5):(x+2)=x^2 \text{...}$
Otrzymany wynik mnożymy przez wszystkie wyrazy wielomianu $\fs2 p$ i zapisujemy je Z PRZECIWNYM ZNAKIEM! pod wielomianem $\fs2 w$ . Bardzo ważne jest abyśmy zmienili znak, w przeciwnym razie nasze dzielenie będzie niepoprawne.
$\fs2 \quad (x^3+2x^2+x+5):(x+2)=x^2 \text{...}$
$\fs2 \underline{-x^3-2x^2}$
$\fs2 \qquad x+5$

Podkreślenie oznacza sumę $\fs2 (x^3+2x^2+x+5)+(-x^3-2x^2)=x+5$ . Myśle, że na razie wszystko jest jasne (chociaz trochę) :)

Kolejnym krokiem jest podzielenie pierwszego wyrazu otrzymanej sumy przez pierwszy wyraz wielomianu $\fs2 p$ . Otrzymaną wartość mnożymy przez wszystkie składniki wielomianu $\fs2 p$ i zapisujemy z przeciwnym znakiem. Mówiac krótko - postępujemy tak samo jak wcześniej.
$\fs2 \quad (x^3+2x^2+x+5):(x+2)=x^2 +1$
$\fs2 \underline{-x^3-2x^2}$
$\fs2 \qquad x+5$
$\fs2 \underline{-x-2}$
$\fs2 \qquad 3$

Wolny wyraz na samym dole to reszta z dzielenia. Gdybyśmy chcieli rozkładać wielomian na czyyniki to ów reszta bardzo by nam przeszkadzała. Na szczeście naszym zadaniem było tylko podzielenie dwóch wielomianów:

$\fs2 w(x) : q(x)=(x^2+1)+3 \quad \Rightarrow \quad w(x)=(x+2)(x^2+1)+3$

Sposób 2 - schemat Hornera. Wyznacz w(x) : p(x)

Dla lepszego porównania obu metod, spróbujmy rozwiązać ten sam przykład.
$\fs2 w(x)=x^3+2x^2+x+5$
$\fs2 p(x)=x+2$

Najpierw musimy wypisać wszystkie współczynniki wielomianu $\fs2 w$ :
$\fs2 a_3=1 \quad ; \quad a_2=2 \quad ; \quad a_1=1 \quad ; \quad a_0=5$
Następnie rysujemy tabelę (4 wiersze, liczba kolumn o 2 większa od stopnia wielomianu. $\fs2 St(w)=3$ więc liczba kolumn w naszym przypadku wyniesie 5

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \\ & III & II & I & 0 \\ \hline & 1 & 2 & 1 & 5 \\ \hline -2 & 1 & & & \\ \hline \end{tabular}$

W pierwszym wierszu pierwsza komórkę zostawiamy wolną. W następnych wypisujemy stopnie wielomianu tak jak to jest w powyższej tabeli. W drugim wieszu wpisujemy nasze $\fs2 a$ czyli $\fs2 -2$ . Następną komórkę przepisujemy to co jest powyżej.

Mając to możemy przejść do liczenia:
Mnożymy pierwiastek, czyli -2 przez 1, która znajduje się po prawej stronie, a następnie dodajemy to co znajduje się w następnej komórce w wierszy wyżej. Otrzymany wynik zapisujemy w komórce obok 1:
$\fs2 (-2) \cdot 1 + 2 = 0$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \\ & III & II & I & 0 \\ \hline & 1 & 2 & 1 & 5 \\ \hline -2 & 1 & 0 & & \\ \hline \end{tabular}$

Podobnie postępujemy mnoząc tym razem przez wyrazy znajdujące się o jedną komórkę w prawo:
$\fs2 (-2) \cdot 0 + 1 = 1$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \\ & III & II & I & 0 \\ \hline & 1 & 2 & 1 & 5 \\ \hline -2 & 1 & 0 & 1 & \\ \hline \end{tabular}$

$\fs2 (-2) \cdot 1 + 5 = 3$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \\ & III & II & I & 0 \\ \hline & 1 & 2 & 1 & 5 \\ \hline -2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \end{tabular}$

Ostatnia komórka po prwej stronie w trzeciej kolumnie jest resztą z dzielenia (zauważ, że wyszła tak sama reszta co sposobem pisemnym). Ostatnią rzeczą jest przepisanie całej trzeciej kolumny (z wyjątkiem pierwiastka -2) do wiersza poniżej, z tym że wszystko przesuwamy o jedną kolumnę w prawo:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \\ & III & II & I & 0 \\ \hline & 1 & 2 & 1 & 5 \\ \hline -2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline & 0 & 1 &0 & 1 \\ \hline \end{tabular}$

Tak wygląda uzupełniony schemat Hornera. Otrzymany wynik spisujemy z tabeli z ostatniego wiersza: $\fs2 0 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 = x^2+1$

Jak widać wynik wyszedł taki sam jak sposobem pisemnym. Korzystanie z tego schetamu jest bardzo łatwe i przyjemne, jednak tylko w przypadku, gdy dzielnik jest w postaci dwumianu.

Umiejętnośc rozkładu na czynniki jest niezbędna w późniejszym rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych. Bardzo ważne jest opanowanie tych czynności, w przeciwnym razie rozwiązywanie "prawdziwych" zadań z wykorzystaniem wielomianów stanie się czymś niemożliwym.

by Damian Panas

komentuj publikację