[F.wielomianowa] Rozwiązywanie równań i nierówności :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F.wielomianowa] Rozkład na czynniki, dodawanie, mnożenie, dzielenie wielomianów

[F. kwadratowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

Konfirmacja i falsyfikacja - uzasadnienie twierdzeń

[F.liniowa] Równanie kierunkowe, równanie ogólne

Tak naprawdę sama umiejętność dzielenia wielomianów nie na wiele na się zdaje. Skąd przecież mielibyśmy wziąć dwumian, przez który musielibyśmy podzielić dany wielomian (zakładając oczywiście, że inne sposoby rozkładu na czynniki nie są możliwe)?

Aby znaleźć pożądany przez nas dwumian musimy skorzystać z jednego z dwóch twierdzeń, które de facto możemy połączyć i korzystać jak z jednego. Są to: twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych:
Jeżeli wielomian $\red \fs2 a_nx^n+\text{...}+a_1x+a_0$ ma współczynniki całkowite, to każdy jego pierwiastek całkowity jest dzielnikiem wolnego wyrazu.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych:
Jeżeli pierwiastek $\red \fs2 \frac{p}{q}$ zapisany jest w postaci nieskracalnej, to jego licznik $\red \fs2 p$ dzieli wyraz wolny $\red \fs2 a_0$ , a mianownik $\red \fs2 q$ dzieli współczynnik $\red \fs2 a_n$ przy najwyższej potędze.

Z powyższych twierdzeń wynika prosty wniosek. Mianowicie całkowitych pierwiastków wielomianu $\fs2 2x^3 + x^2 + x-1$ będziemy szukać pośród liczb: $\fs2 1$ ; $\fs2 -1$ , a wymiernych pośród: $\fs2 1$ ; $\fs2 -1$ ; $\fs2 \frac{1}{2}$ ; $\fs2 -\frac{1}{2}$ .

Z doświadczenia jednak wiem, ze zazwyczaj mamy doczynienia z pierwiastkami całkowitymi. Jeśli jednak okaże się, że żaden z dzielników wolnego wyrazu nie jest pierwiastków danego wielomianu, to wykorzystajcie twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

Warto również zwrócić uwagę na to, że dla $\fs2 a_n=1$ mamy tylko pierwiastki całkowite.

Rozwiąż równanie x^3-3x^2+2=0

Jak widać nie możemy zastosować żadnego prostszej metody niż dzielenie wielomianów.

Dzielnikami wolnego wyrazu $\fs2 a_0$ , czyli $\fs2 2$ są: $\fs2 1$ ; $\fs2 -1$ ; $\fs2 2$ ; $\fs2 -2$ .

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu:
$\fs2 w(1)=1-3+2=0$
$\fs2 w(-1)=-1--3+2=-2$
$\fs2 w(2)=8-12+2=-2$
$\fs2 w(-2)=-8-12+2=-18$

Po podstawianiu dowiadujemy się, że pierwiastkiem jest $\fs2 x=1$

Korzystając z twierdzenia Bezouta dzielimy $\fs2 x^3-3x^2+2$ przez dwumian $\fs2 (x-1)$ :
(Jeśli nie wiesz o czym mówi twierdzenie Bezouta, to zajrzyj TUTAJ. Znajdziesz tam jego treść oraz dokładne objaśnienie)

$\fs2 \quad (x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2 -2x-2$
$\fs2 \underline{-x^3+x^2}$
$\fs2 -2x^2+2$
$\fs2 \qquad \underline{2x^2-2x}$
$\fs2 \qquad -2x+2$
$\fs2 \qquad \qquad \underline{2x-2}$
$\fs2 \qquad \qquad \qquad 0$

$\fs2 x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$

Sprawdzamy, czy wyrażenie $\fs2 x^2-2x-2$ da sie jeszcze rozłożyć:

$\fs2 \Delta = 4+8=12 \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\fs2 x_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$
$\fs2 x_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$

Rozwiązaniem równania jest $\fs2 x=1 \qquad \vee \qquad x=1-\sqrt{3} \qquad \vee \qquad x=1+\sqrt{3}$

Rozwiąż równanie x^4+2x^3-x-2=0

W tym przypadku możemy zastosować metodę grupowania wyrazów:

$\fs2 x^4+2x&3-x-2=x(x^3-1)+2(x^3-1)=(x+2)(x^3-1)$
$\fs2 x+2=0 \qquad \Rightarrow \qquad x=-2$
$\fs2 x^3-1=0 \qquad \Rightarrow \qquad x^3=1 \qquad \Rightarrow \qquad x=1$

Rozwiązaniem równania jest jest $\fs2 x=-2$ oraz $\fs2 x=1$

NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE

By móc rozwiązywać nierówności wielomianowe potrzebna jest umiejętność szkicowania wykresów funkcji wielomianowych.

Jest kilka metod szkicowania takich wykresów. Przedstawię tą najłatwiejszą i najszybszą. Opiera się ona na kilka prostych zasadach:

zaznaczamy na osi $\fs2 Ox$ miejsca zerowe funkcji,
szkicowanie wykresu wykonujemy od prawej do lewej,
dla $\fs2 a_n >0$ , zaczynamy szkicowanie wykresu ponad osią $\fs2 Ox$ ,
dla $\fs2 a_n <0$ , zaczynamy szkicowanie wykresu poniżej osi $\fs2 Ox$ ,
jeśli krotność pierwiastka jest parzysta to wykres odbija się od osi $\fs2 Ox$ ,
jeśli krotność pierwiastka jest nieparzysta to wykres przecina oś $\fs2 Ox$ ,

Naszkicuj wykres funkcji w(x)=x^4-x^3-2x-4

Wypisujemy dzielniki wolnego wyrazu $\fs2 a_0=4$ : $\fs2 1$ ; $\fs2 -1$ ; $\fs2 2$ ; $\fs2 -2$ ; $\fs2 4$ ; $\fs2 -4$ .

Sprawdzamy, czy jeden z dzielników jest pierwiastkiem $\fs2 w(x)$ :
$\fs2 w(1)=1-1-2-4=-6 \qquad \Rightarrow \qquad w(1) \not= 0$
$\fs2 w(-1)=1+1-2-4=-4 \qquad \Rightarrow \qquad w(-1) \not= 0$
$\fs2 w(2)=16-8-4-4=0 \qquad \Rightarrow \qquad w(2) = 0$

Znając pierwiastek wielomianu wykonujemy dzielenie na mocy twierdzenia Bezouta:

$\fs2 \quad (x^4-x^3-2x-4):(x-2)=x^3+x^2+2x+2$
$\fs2 \underline{-x^4+2x^3}$
$\fs2 \qquad x^3-2x-4$
$\fs2 \underline{-x^3+2x^2}$
$\fs2 \qquad 2x^2-2x-4$
$\fs2 \qquad \underline{-2x^2+4x}$
$\fs2 \qquad \qquad \qquad 2x-4$
$\fs2 \qquad \qquad \underline{-2x+4}$
$\fs2 \qquad \qquad \qquad \qquad 0$

Rozkład otrzymanego wielomianu $\fs2 x^3+x^2+2x+2$ możemy wykonać metodą grupowania wyrazów:
$\fs2 x^3+x^2+2x+2=x^2(x+1)+2(x+1)=(x^2+2)(x+1)$

Tak więc postać iloczynowa wielomianu $\fs2 x^4-x^3-2x-4$ wygląda następująco:
$\fs2 w(x)=(x-2)(x+1)(x^2+2)$

Pierwiastkami wielomianu są $\fs2 x=2$ oraz $\fs2 x=-2$ (wyrażenie $\fs2 x^2+2$ nie ma pierwiastków, gdyż nie istnieje $\fs2 x: x \in R$ spełniający równanie $\fs2 x^2+2=0$ ).

Znając miejsca zerowe, postać ogólną oraz iloczynową możemy naszkicować wykres funkcji (nie mylić z narysowaniem wykresu, co jest bardziej skomplikowane i czasochłonne):

współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni - równy $\fs2 a_n=1$ , tak więc zaczynamy szkicowanie wykresu (od prawej strony) powyżej osi $\fs2 Ox$ - odczytujemy to z postaci ogólnej wielomianu,

przez $\fs2 x=2$ wykres funkcji przecina oś $\fs2 0x$ , gdyż potęga przy tym pierwiastku (krotność) jest nieparzysta (wynosi 1) - odczytujemy do z postaci iloczynowej,

przez pierwiastek $\fs2 x=-1$ wykres przecina oś $\fs2 0x$ , gdyż krotność przy tym pierwiastku jest nieparzysta - odczytujemy z postaci iloczynowej $\fs2 (x+1)=(x+1)^1$

UWAGA: Powyższy szkic nie musi przypominać prawdziwego wykresu funkcji. Dzieje się tak bardzo często dlatego też niektórzy nie nazywają tego wykresem tylko wężykiem.

Rozwiąż nierówność x^4 <8x

$\fs2 x^4 -8x <0$ - przenosimy wszystko na jedną stronę
$\fs2 x(x^3-8)<0$ - wyłączamy wspóny czynnik przed nawias
$\fs2x^3-8=x^3-2^3$ - możemy wykorzystać wzór na różnice sześcianów (ci, którzy tego nie zauważą i zaczną w tym momencie dzielić, dojdą do tego samego wyniku, tylko że zajmie im to więcej czasu)
$\fs2 x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$

Sprawdzamy, czy trójmian $\fs2 x^2+2x+4$ można rozłożyć na czynniki:
$\fs2 \Delta =4-16=-12 \qquad \Rightarrow \qquad \Delta <0$ - brak miejsc zerowych

$\fs2 x^4+8x<0$ - postać ogólna
$\fs2 x(x-2)(x^2+2x+4)$ - postać iloczynowa

Zaczynamy rysowanie z góry, gdyż współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni $\fs2 (1 \cdot x^4)$
Wykres przecina miejsca zerowe, ponieważ krotność tych pierwiastków jest nieparzysta i w obu przypadkach wynosi 1. $\fs2 x^1(x-2)^1(x^2+2x+4)$ .

Odpowiedź: $\fs2 x \in (0;2)$

by Damian Panas

komentuj publikację