[GEOMETRIA] Działania na wektorach :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F.wielomianowa] Rozkład na czynniki, dodawanie, mnożenie, dzielenie wielomianów

[TEORIA ZBIORÓW] Pojęcie zbioru, działania na zbiorach

[MECHANIKA KLASYCZNA] Rzuty w polu grawitacyjnym

Działania na wektorach

§ 1. Wprowadzenie

Zanim przejdę do działań na wektorach, chciałbym przedstawić kilka definicji i pojęć pomocniczych, którymi będziemy się później posługiwać. Ułatwią mi one m.in. dowody niektórych twierdzeń dotyczących własności działań na wektorach. Przy dowodach będę starał się unikać dowodów analitycznych, chyba że będzie to o wiele prostsza metoda od graficznych wywodów. Będzie to mieć miejsce np. przy dowiedzeniu, że $(\vec a +\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c$ .

1.1. Pojęcie wektora jednostkowego
W działaniach na wektorach wygodnie jest się posługiwać pojęciem wektora\ów jednostkowego. Są to najzwyczajniejsze wektory, ale zawsze mają długość równą 1 i mają zwrot danego wektora (definicja intuicyjna). Są zdefiniowane następująco

Definicja wersora

$\hat r\;:\!\!=\;\frac{\vec r}{r}$

gdzie

to wartość (długość) wektora $\vec r$ .

Nie omawiałem jeszcze mnożenia wektora przez skalar, ale mam nadzieję iż każdy zrozumie, że takie działanie nie zmienia żadnej z własności wektorów poza jego wartością, jeśli skalar należy do zbioru $\left{s\in \mathbb{R}:\;s>0\right}$ . Spójrzmy na definicję wersora. Wynika z niej, że każdy wektor możemy przedstawić jako "zwykły" iloczyn jego długości i wersora: $\vec r=r\hat r$ . Można powiedzieć, że wersor nadaje wektorowi kierunek a liczba przed nim stojąca długość. Każdemu wektorowi można przypisać jego własny wersor, jednakże jest to niepraktyczne. Zamiast każdemu wektorowi przypisywać jego własny kierunek stworzono pojęcie wersorów osi np. kartezjańskiego układu współrzędnych, którym będziemy się tu posługiwać. Każda z osi ma swój wektor jednostkowy (wersor) wyznaczający jej kierunek. Każdy wektor (prócz zerowego) można rozłożyć na składowe (zobacz podpunkt 3.2.5.) wzdłuż tych osi i dopiero dodać do siebie odpowiednie składowe. Wersory kartezjańskiego układu współrzędnych Oxyz mają swoje specjalne nazwy. Kolejno dla osi Ox, Oy, Oz są to

$\hat \imath,\;\hat \jmath,\;\hat k$ lub $\hat e_1,\;\hat e_2,\; \hat e_3$ lub $\hat e_{\imath},\;\hat e_{\jmath}, \; \hat e_{k}$

o niemieckiego słowa eins - jeden, a także najbardziej doceniana przeze mnie notacja

$\hat x,\;\hat y,\;\hat z$

,

która pozwala uniknąć nieporozumień i pomyłek.

Definicja wersorów prostokątnego układu współrzędnych Oxyz

$\left{\begin{array}{c}\hat x\;:\!\!=\;[1,0,0] \\ \hat y\;:\!\!=\;[0,1,0] \\ \hat z\;:\!\!=\;[0,0,1]\end{array}$

Rys. 1 Wersory kartezjańskiego układu współrzędnych

Zatem jeśli mamy wektor dany jako $\vec v=[3,7,-9]$ , to równoważny temu jest zapis

$\vec v=3\hat x+7\hat y-9\hat z$

Jak to wykazać? Weźmy wektor $\vec r=r_x\hat x+r_y\hat y+r_z\hat z$ . Skorzystajmy teraz z definicji wersorów kartezjańskiego układu współrzędnych:

$\begin{eqnarray}\vec r= \\ && =r_x[1,0,0]+r_y[0,1,0]+r_z[0,0,1]= \\ && =[r_x,0,0]+[0,r_y,0]+[0,0,r_z]= \\ && =[r_x,r_y,r_z]\end{array}$

$\vec r=r_x\hat x+r_y\hat y+r_z\hat z\;\;\Leftrightarrow\;\; \vec r=[r_x,r_y,r_z]$

§ 2. Suma wektorów

2.1. Definicja
Sumą wektorów $\vec a$ i $\vec b$ nazywamy każdy wektor, który daje się otrzymać w sposób następujący:
Z dowolnego punktu kreślimy wektor równy $\vec a$ , z końca tego wektora drugi wektor równy wektorowi $\vec b$ ; wektor, którego początkiem jest punkt a końcem koniec drugiego wektora $(\vec b)$ nazywamy sumą wektorów $\vec a$ i $\vec b$ (patrz: metody geometryczne)

Sumę wektorów $\vec a$ i $\vec b$ zapisuje się jako

$\vec a+\vec b$ lub czasami $\vec{a+b}$

Drugim sposobem będę posługiwał się tylko na rysunkach.

2.2. Metody dodawania wektorów
Wektory można dodawać na kilka różnych sposobów:
• Analitycznie
• Geometrycznie

metodą trójkąta
metodą równoległoboku

Metoda analityczna
Sumując wektory, nie dodajemy ich algebraicznie (tak jak wielości skalarne) lecz geometrycznie. Istnieje jednak metoda sprowadzająca sumę wektorów, do zwykłego dodawania algebraicznego. Ta metoda to rozkład wektora na jego składowe wzdłuż osi (u nas) kartezjańskiego układu współrzędnych. Dodajemy tylko składowe wektora leżące na jednej osi. Załóżmy, że mamy dane dwa wektory $\vec v=5\hat x+6\hat y- 7\hat z$ i $\vec u=7\hat x+6\hat y+6\hat z$ . Dodajemy tylko liczby ustawione przy tych samych wersorach: z do z, y do y itd.

$\begin{eqnarray}{\vec v+\vec u=} \\ & & =(5\hat x+6\hat y- 7\hat z)+(7\hat x+6\hat y- 6\hat z)= \\ & & =(5+7)\hat x+(6+6)\hat y+(-7+6)\hat z= \\ & &=12\hat x+12\hat y-\hat z\end{eqnarray}$

Takie dodawanie można porównać do dodawania wyrażeń algebraicznych

$\red ab$

$\blue cd$

$\green ef$

$\red 3ab$ $\rm -$ $\blue 4cd$

$\green\frac{1+\sqrt{5}}{2}ef$

$\red 4ab$ $\rm -$ $\blue 3cd$

$\green \frac{3+\sqrt{5}}{2}ef$

dodaje się tylko te wyraz, które mają "coś wspólnego".

Zatem w ogólnym przypadku dla wektorów $\vec a=[a_x,a_y,a_z]$ i $\vec b=[b_x,b_y,b_z]$

Suma wektorów - analitycznie

$\vec a+\vec b=[a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z]$

Metody geometryczne

• Metoda trójkąta
Dane są dwa wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ . Aby dodać wektor $\vec{b}$ do wektora $\vec{a}$ metodą trójkąta należy:

» Na koniec wektora $\vec{a}$ przenieść początek wektora $\vec{b}$ . To przeniesienie można nazwać translacją o jakiś wektor, gdyż jest ono izometryczne. Tak przesunięte wektory trzeba połączyć: początek wektora $\vec{a}$ z końcem wektora $\vec{b}$ . Końcem powstałego wektora będzie koniec wektora $\vec b$ a początkiem początek wektora $\vec a$ . Tak powstały wektor będzie nosić nazwę $\vec{a}+\vec b$ i będzie sumą wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ .

Rys. 2 Metoda trójkąta - dodawanie wektorów

(a)

(b)

Był to przypadek tylko dla dwóch wektorów. Jednakże metodę tę można uogólnić na dowolną ilość wektorów w następujący sposób:

» Jeśli mamy kilka wektorów, to do końca wektora przykładamy początek następnego wektora. Do końca dodanego wektora przykładamy początek kolejnego wektora itd. Gdy skończą się nam wektory, to początek pierwszego wektora łączymy z końcem ostatniego wektora. Tak powstały wektor o początku w początku pierwszego wektora i końcu na końcu ostatniego wektora jest sumą wszystkich pozostałych wektorów.

Rys. 3 Uogólniona metoda trójkąta - dodawanie wektorów

(a)

(b)

• Metoda równoległoboku
Dane są dwa wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ . Aby dodać wektor $\vec{b}$ do wektora $\vec{a}$ metodą równoległoboku należy:

» Na początek wektora $\vec{a}$ przenieść początek wektora $\vec{b}$ . To przeniesienie można nazwać translacją o jakiś wektor, gdyż jest ono izometryczne. Na tak przesuniętych wektorach trzeba zbudować równoległobok, którego krawędziami są wektory $\vec a$ i $\vec b$ . Następnie z punktu gdzie znajdują się początki wektorów $\vec a$ i $\vec b$ należy poprowadzić odcinek do przeciwległego rogu równoległoboku (przekątną). W przeciwległym roku mamy koniec a w punkcie startowym początek wektora. Powstały wektor nosi nazwę $\vec a+\vec b$ i jest sumą wektorów $\vec a$ i $\vec b$ .

Rys. 4 Metoda równoległoboku - dodawanie wektorów

(a)

(b)

2.3. Własności sumy wektorów
Prawo przemienności: $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$

[Dowód geometryczny] (metodą trójkąta)
Rozpatrzmy trzy wektory: $\vec a$ , $\vec b$ . Dodamy je w dowolnej kolejności: najpierw $\vec a=\vec b$ a potem $\vec b+\vec a$ . Jeśli wektor wypadkowy^[1] w obu przypadkach będzie taki sam, to dowiedzie to prawa przemienności.

Rys. 5 Schemat do dowodu prawa przemienności dla dodawania wektorów

(a)

(b)

(c)

Prawo łączności $\vec a+\vec b+\vec c+\vec d+\cdots=[(\vec a+\vec b)+\vec c]+\vec d+\cdots$

[Dowód geometryczny] (metodą równoległoboku)
W tym dowodzie będę się opierał na prawie przemienności. Wystarczy pokazać, że np. $(\vec{a}+\vec b)+\vec c=(\vec b+\vec c)+\vec a$ . Na rysunku wektor wypadkowy zaznaczam kolorem czerwonym a wektor będący sumą w nawiasie, kolorem niebieskim. Jeśli w obu przypadkach czerwone wektory będą równe, to prawo łączności zostanie dowiedzione.

Rys. 7 Schemat do dowodu prawa łączności dla dodawania

(a)

(b)

(c)

2.4. Rzuty sumy wektorów na prostą lub płaszczyznę
Rzutem wektora na dowolną prostą lub płaszczyznę jest równy składowej tego wektora równoległej do tej prostej lub płaszczyzny. Np. rzutem wektora $\vec v=[3,5]$ na oś Ox jest wektor $\vec v_x=3\hat x$ ; podobnie jest z osią Oy] jak i dowolną prostą lub płaszczyzna. Rzut wektora $\vec v$ na prostą będę oznaczał jako $\vec v_{\parallel}$ .

Twierdzenie o rzucie sumy wektorów
Rzut sumy wektorów na oś lub płaszczyznę jest równy sumie rzutów poszczególnych składników sumy wektorów.

$(\vec a+\vec b)_{\parallel}\,=\,\vec a_{\parallel}+\vec b_{\parallel}$

[Dowód geometryczny]

Rys. 8 Schemat do dowodu twierdzenia o rzucie sumy wektorów

2.5. Rozkład wektora na składowe
Tak samo jak dodaje się poszczególne wektory, które w konsekwencji tworzą jeden wektor wypadkowy, można jeden wektor przedstawić jako sumę kilku innych wektorów. Taka operacja nosi nazwę rozkładania wektora na składowe.

Rozkład na składowe w płaszczyźnie
Aby rozłożyć wektor $\vec a$ na składowe $\vec a_1$ i $\vec a_2$ należy:

» Narysować dwie linie styczne do punktu końca wektora (l, m). Następnie skonstruować kolejne dwie styczne do punktu początku wektora (l', m'), które będą równoległe do prostych l i m. Proste przetną się w kilku punktach (patrz rysunek). Startując początku wektora $\vec a$ narysować wektor o końcu w punkcie przecięcia się prostych l i m'; powstały wektor $\vec a_2$ będzie jedną ze składowych wektora $\vec a$ . Znów należy zacząć w punktu początku wektora $\vec a$ i narysować wektor o końcu w punkcie przecięcia się prostych m i l'. Powstały wektor $\vec a_1$ będzie kolejną ze składowych wektora $\vec a$ . Wektory spełniają warunek: $\vec a_1+\vec a_2=\vec a$ .

Rys. 9 Rozkład wektora na składowe (w płaszczyźnie)

Szczególnym przypadkiem takiego rozkładu wektora jest rozkład na składowe wzajemnie prostopadłe. Wektory spełniają warunek $\vec a=\vec a_1+\vec a_2$ a ponadto

$a_1=a\cos\alpha\;\;\;a_2=a\sin\alpha\;\;\;tg\alpha=\frac{a_2}{a_1}$

Rys. 10 Rozkład wektora na składowe wzajemnie prostopadłe (w płaszczyźnie)

Rozkład na składowe w przestrzeni
Posileni wiedzą z poprzedniego podpunktu możemy przejść do rozkładu wektora w przestrzeni. Zajmiemy się tutaj tylko szczególnym przypadkiem takiego rozkładu. Polega on na zbudowaniu prostopadłościanu, którego przekątną będzie rozkładany wektor. Jego składowymi będą wektory o kierunku wzdłuż ścian prostopadłościanu. Krawędzie te zbiegają się w punkcie zaczepienia wektora rozkładanego, dalej nazywanego $\vec a$ .

Wektor $\vec a$ spełnia oczywiście warunek $\vec a=\vec a_1+\vec a_2+\vec a_3$ , a ponadto zachodzą następujące związki:

$a=|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

$a_1=a\cos\alpha\;\;a_2=a\cos\beta\;\;a_3=a\cos\gamma$

Rys. 11 Rozkład wektora na składowe wzajemnie prostopadłe (w przestrzeni)

§ 3. Różnica wektorów

3.1. Definicja i notacja
Różnicą wektorów $\vec a$ i $\vec b$ nazywamy każdy wektor, który daje się otrzymać w sposób następujący:
Z dowolnego punktu kreślimy wektor równy $\vec a$ , z początku tego wektora (punkt ) drugi wektor równy wektorowi $\vec b$ ; wektor, którego początkiem jest koniec wektora $\vec b$ a końcem koniec wektora $\vec a$ nazywamy różnicą wektorów $\vec a$ i $\vec b$ (patrz: metody geometryczne)

Innymi słowy

Odjąć wektor od wektora, to dodać do wektora drugi wektor przeciwny. Jest to operacja odwrotna do dodawania spełniająca równanie

Definicja różnicy wektorów

$\fbox{ (\vec a-\vec b)+\vec b=\vec a \;\;\Longleftrightarrow \;\; \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b) }$

Notacja została użyta już w definicji. Dla formalności podaję, że odejmowanie wektorów $\vec a$ i $\vec b$ zapisuje się jako

$\vec a-\vec b$ lub $\vec a+(-\vec b)$ lub $\vec{a-b}$

Wektory można odejmować na kilka różnych sposobów:
:arrow:

Analitycznie (jeśli zna się składowe wektora)
:arrow:

Geometrycznie

metodą trójkąta
metodą równoległoboku

Metoda analityczna
Metody tej używamy, gdy znamy składowe wektorów. Odejmowanie wektorów tą metodą jest analogiczną do dodawania wektorów. Jeśli mamy wektory $\vec a=[3,6,7]$ i wektor $\vec b=[7,6,3]$ to zgodnie z definicją odejmowania $\vec a+(-\vec b)=[3,6,7]+[-7,-6,-3]=[-4,0,4]$ , zatem w ogólnym przypadku:

$\vec a=[a_x,a_y,a_z]\;\;\; \vec b=[b_x,b_y,b_z]$

Różnica wektorów - analitycznie

$\fbox{\vec a-\vec b=[a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z]}$

Metody geometryczne
W tym podpunkcie dojdzie do kilku powtórzeń z punktu 3.1.

Metoda trójkąta
Dane są dwa wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ . Aby odjąć wektor $\vec{b}$ od wektora $\vec{a}$ metodą trójkąta należy:

» Na koniec wektora $\vec a$ przenieść początek wektora $\mathrm{-}\vec b$ . To przeniesienie można nazwać translacją o jakiś wektor, gdyż jest ono izometryczne Następnie tak ustawione wektory trzeba połączyć: koniec wektora $\mathrm{-}\vec b$ z początkiem wektora $\vec a$ . Końcem powstałego wektora będzie koniec wektora $\mathrm{-}b$ a początkiem początek wektora $\vec a$ . Tak powstały wektor będzie nosić nazwę $\vec a-\vec b$ i będzie różnicą wektorów $\vec a$ i $\vec b$

Rys. 12 Metoda trójkąta - odejmowanie wektorów

(a)

(b)

Metoda równoległoboku
Dane są dwa wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ . Aby odjąć wektor $\vec{b}$ od wektora $\vec{a}$ metodą równoległoboku należy:

» Na początek wektora $\vec{a}$ przenieść początek wektora $\vec{b}$ . To przeniesienie można nazwać translacją o jakiś wektor, gdyż jest ono izometryczne. Następnie należy połączyć koniec wektora $\vec b$ z końcem wektora $\vec a$ . Końcem powstałego wektora będzie koniec wektora $\vec a$ a początkiem początek wektora $\vec b$ . Tak powstały wektor będzie nosić nazwę $\vec a-\vec b$ i będzie różnicą wektorów $\vec a$ i $\vec b$

Rys. 13 Metoda równoległoboku - odejmowanie wektorów

(a)

(b)

Dla odejmowania wektorów prawa łączności i przemienności nie obowiązują.

§ 4. Mnożenie wektora przez liczbę (skalar)

4.1. Definicja i notacja
Definicja: iloczyn wektora przez liczbę (skalar)
Iloczynem wektora $\vec a$ przez liczbę^[2] (skalar) nazywamy wektor, który:
ma długość $|s||\vec a|$
ma zwrot przeciwny jeśli lub zgodny jeśli

Notacja
Mnożenie wektora przez skalar zapisuje się

$s\cdot\vec r$ lub $s\vec r$

4.2. Własności iloczynu wektora przez skalar
Z definicji wprost wynikają następujące własności:

Jeżeli s=0

lub $\vec a=\vec 0$ , to

:arrow:

$s\vec a=\vec 0$

$(-s)\vec a=-s\vec a$

W szczególności

$(-1)\vec a=-\vec a$

Prawa rozdzielności sumy względem iloczynu

:arrow:

$s(\vec a+\vec b)=s\vec a+s\vec b$

[Dowód geometryczny]

Rys. 13 Schemat do dowodu prawa rozdzielności sumy względem iloczynu przez liczbę (1)

(a)

(b)

(c)

$(s+t)\vec a+=s\vec a+t\vec a$

[Dowód geometryczny]

Rys. 14 Schemat do dowodu prawa rozdzielności sumy względem iloczynu przez liczbę (2)

Prawo łączności

$(st)\vec a=s(t\vec a)$

[Dowód geometryczny]

Rys. 15 Schemat do dowodu prawa łączności dla iloczynu wektora przez liczbę

4.3. Dzielenie wektora przez liczbę
Dzieleniem wektora $\vec a$ przez liczbę $s\neq 0$ nazywamy mnożenie wektora przez odwrotność tej liczby:

Dzielenie wektora przez liczbę

$\fbox{\frac{\vec a}{s}=\frac{1}{s}\vec a}$

4.4. Iloczyn wektora przez liczbę - analitycznie
Jeśli przyjąć wektor $\vec a=[a_x,a_y,a_z]\;\;\Longleftrightarrow\;\; \vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z$ , to iloczyn wektora $\vec a$ przez liczbę określa się następująco

Iloczyn wektora przez liczbę - analitycznie

$\fbox{s\vec a=\vec a s}$

[Dowód analityczny]
Zapiszmy wektor $\vec a$ jako $\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z$ . Wówczas

$\begin{eqnarray}{s\vec a=} \\ & & =s(a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z)= \\ & & =sa_x\hat x+sa_x\hat y+sa_z\hat z= \\ & & = [sa_x,sa_y,sa_z]= \\ & & =[a_xs,a_ys,a_zs]= \\ & & =\vec a s\end{enqarray}$

4.5. Rzuty iloczynu wektora przez liczbę na oś lub płaszczyznę
O rzutach wektorów mówiliśmy wystarczająco dużo w punkcie 2.4.

Teraz skupimy się na następującym twierdzeniu.

TwierdzenieRzut wektora $\vec a$ pomnożonego przez liczbę na oś lub płaszczyznę jest równy pomnożonemu przez liczbę rzutowi wektora $\vec a$ .

$(s\vec a)_{\parallel}=s\vec a_{\parallel}$

[Dowód geometryczny]

Rys. 16 Schemat do dowodu twierdzenia o rzucie iloczynu wektora przez liczbę

5. Iloczyn skalarny wektorów

5.1. Definicja i notacja
Definicja: iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym (wewnętrznym, dawniej skalarowym) wektorów $\vec a$ i $\vec b$ nazywamy liczbę (skalar) $|\vec a||\vec b|\cos\psi$

gdzie
$\psi=\angle$\vec a,\vec b$$ to mniejszy z kątów zawarty pomiędzy wektorami $\vec a$ i $\vec b$ , zatem $\psi \in [0,\pi]$
$|\vec a|=a$ to wartość wektora $\vec a$
$|\vec b|=b$ to wartość wektora $\vec b$

Zatem można zapisać

Definicja iloczynu skalarnego wektorów

$\fbox{ \vec a\cdot\vec b\stackrel{\mathrm{def}}{=}ab\cos\psi }$

Notacja
Jedno z oznaczeń iloczynu skalarnego zostało użyte w poprzednim podpunkcie. Jednakże warto zapoznać się z inną notacja iloczynu skalarnego wektorów. I. s. wektorów $\vec a$ i $\vec b$ oznacza się następująco:

$\vec a\cdot \vec b$ lub $\vec a\circ\vec b$ lub $\vec a\vec b$

Zazwyczaj stosuje się dwie pierwsze notacje. Ostatnia powoli odchodzi do lamusa. Tutaj przeważnie będę oznaczał iloczyn skalarny wektorów jako^[3] $\vec a\cdot\vec b$ .

5.2. Iloczyn skalarny jako rzuty wektorów na kierunki
Pamiętamy, że iloczyn wektorowy jest definiowany jako $\vec a\cdot\vec b=a(b\cos\psi)=(a\cos\psi)b$ (łączność mnożenia w $\mathbb{R}$ ). Jednocześnie znamy zależności z punktów 2.4., 2.5.. Widzimy zatem, że $b\cos\psi$ przedstawia rzut wektora $\vec b$ na kierunek wektora $\vec a$ ( $\psi$ to kat między tymi wektorami), natomiast wyrażenie $a\cos\psi$ przedstawia rzut wektora $\vec a$ na kierunek wektora $\vec b$ , zatem

$b_{\parallel}=b\cos\psi\;\;a_{\parallel}=a\cos\psi$

Można zapisać: $\vec a\cdot\vec b=ab_{\parallel}=a_{\parallel}b$ , czyli

Iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości jednego wektora przez rzut drugiego na kierunek pierwszego.

5.3. Własności iloczynu skalarnego wektorów
Wprost z definicji wynika, to że

$(\vec a\neq \vec 0\;\;\wedge\;\;\vec b\neq 0\;\;\wedge\;\; \vec a\cdot \vec b=0)\;\;\Longleftrightarrow\;\;\vec a\;\perp\;\vec b$

wynika to z tego $ab\cos\psi=0\;\;\Longleftrightarrow\;\;\psi=\arccos 0\;\;\Longleftrightarrow\;\;\psi=\frac{\pi}{2}$ o ile $a,b\neq 0$

:arrow:

Prawo przemienności

$\vec a\cdot\vec b =\vec b\cdot\vec a$

również wynika to z definicji i.s.

:arrow:

Prawo rozdzielności

$(\vec a +\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot \vec c$

[Dowód analityczny]
Rozpatrzmy rzut sumy wektorów $\vec a$ i $\vec b$ na kierunek wektora $\vec c$ . Można zapisać: $(\vec a+\vec b)\cdot \vec c=(\vec a+\vec b)_{\parallel}\cdot |\vec c|$ . Korzystając z twierdzenia o rzucie sumy: $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a_{\parallel}\cdot|\vec c|+\vec b_{\parallel}\cdot\|\vec c|$ . Na postawie poprzedniego poprzedniego punktu: $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c$ c.n.d.

:arrow:

Prawo łączności

$s(\vec a\cdot\vec b)=(s\vec a)\cdot\vec b=\vec a(s)\vec b$

[Dowód analityczny]
Niech dany będzie iloczyn $(m\vec a)\cdot\vec b$ . Korzystając z punktu traktującego o iloczynie wektorowym jako rzucie na kierunki, mamy że $(m\vec a)\cdot\vec b=|\vec b|(m\vec a)_{\parallel}$ . Następnie korzystając z twierdzenia o rzucie iloczynu wektora przez liczbę

$\begin{eqnarray}{(s\vec a)\cdot\vec b=}\\ & &=|\vec b|s\vec a_{\parallel}=\\ & &=s|\vec b|\vec a_{\parallel}=\\ & &=s(\vec a\cdot\vec b)\end{eqnarray}$

c.n.d.

Uwaga! Prawo łączności w postaci $(\vec a\cdot\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot (\vec b\cdot\vec c)$ nie zachodzi!

5.4. Iloczyn skalarny - analitycznie
Niech dane będą wektory $\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z$ oraz $\vec b=b_x\hat x+b_y\hat y+b_z\hat z$ . Człony $a_x\hat x, \ldots b_x\hat x,\ldots$ są wektorami (składowymi wektorów a i b). Z prawa rozdzielności wynikają znane prawa mnożenia sumy przez sumę

$(\vec p+\vec q)\cdot(\vec r+\vec g)=(\vec p+\vec q)\cdot\vec r+(\vec p+\vec q)\cdot \vec g=\vec a\cdot\vec r+\vec b+\vec r+\vec a\cdot\vec g+\vec q\cdot\vec g$

.

Pomnóżmy skalarnie wektory a i b:

$\begin{eqnarray}{\vec a\cdot\vec b\equiv} \\ & & \equiv (a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z)\cdot(b_x\hat x+b_y\hat y+b_z\hat z)= \\ & & =a_x\hat x\cdot b_x\hat x+a_x\hat x\cdot b_y\hat y+a_x\hat x\cdot b_z\hat z+ \\ & & +a_y\hat y\cdot b_x\hat x+a_y\hat y\cdot b_y\hat y+a_y\hat y\cdot b_z\hat z+ \\ & & +a_z\hat z\cdot b_x\hat x+a_z\hat z\cdot b_y\hat y+a_z\hat z\cdot b_z\hat z= \\ & & =a_xb_x(\hat x\cdot\hat x)+a_xb_y(\hat x\cdot\hat y)+a_xb_z(\hat x\cdot\hat z)+ \\ & & +a_yb_x(\hat y\cdot\hat x)+a_yb_y(\hat y\cdot\hat y)+a_yb_z(\hat y\cdot\hat z)+ \\ & & +a_zb_x(\hat z\cdot\hat x)+a_zb_y(\hat z\cdot\hat y)+a_zb_z(\hat z\cdot\hat z)\end{eqnarray}$

Skorzystajmy z definicji iloczynu skalarnego: $\vec d\cdot\vec g=gd\cos\psi$ . Wiemy, że

$\hat x\perp\hat y\perp\hat x$

$\Longupdownarrow$

$\hat x\cdot\hat x=\hat y \cdot\hat y=\hat z \cdot\hat z=1\cdot 1\cdot\cos 0=1$

$\hat x\cdot\hat y=\hat y\cdot\hat z=\hat z\cdot\hat x=1\cdo1\cdot\cos \frac{\pi}{2}=0$

Zatem tylko trzy wyrazy w powyższym iloczynie iloczynie nie będą się zerowały (i.s. jest symetryczny: $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$ ). Uzyskujemy analityczną definicję iloczynu skalarnego:

Definicja iloczynu skalarnego wektorów - analitycznie

$\fbox{\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}$

Można zatem obliczyć cosinus kąta pomiędzy wektorami

$\left{\begin{array}{c}\vec a\cdot\vec b & = & ab\cos\psi \\ \vec a\cdot\vec b & = & a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \end{array}$

Wstawiając za $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ oraz za $b=\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}$ , z układu równań łatwo otrzymać

Kosinus kąta między wektorami

$\fbox{\cos\psi=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}}$

§ 6. Kombinacja liniowa wektorów

Kombinacją liniową wektorów $\vec v_1,\,\vec v_2,\,\vec v_3\ldots \vec v_n$ o współczynnikach $k_1,\,k_2,\,k_2\ldots k_n\in \mathbb{R}$ nazywamy wektor

Definicja kombinacji liniowej wektorów

$\fbox{\vec\omega\stackrel{\mathrm{def}}{=}k_1\cdot\vec v_1+k_2\cdot\vec v_2+k_3\cdot\vec v_3+\cdots +k_n\cdot\vec v_n}$

^[1] zazwyczaj w fizyce wektor, który jest sumą innych wektorów nazywany jest wektorem wypadkowym; w skrócie - wypadkową.
^[2] zakładam, że skalar, przez który mnożymy wektor nie jest liczbą zespoloną. Wówczas nastąpiłby obrót wektora o kąt równy argumentowi liczby zespolonej.
^[3] sądzę, że nie ma powodu dla jakiegoś ktoś miałby pomylić iloczyn skalarny ze zwykłym iloczynem. Wszak zwykłe iloczyny liczb oznacza się $a\cdot b$ lub

. Jak widać, to strzałki nad symbolami bądź ich brak sygnalizują o jaki iloczyn chodzi.

Literatura:
1. W. Rubinowicz Wektory i tensory, wyd. PTM
2. S. Banach Mechanika I, rozdział 1, wyd. ?
3. D. Halliday, R. Resnick Podstawy fizyki, rozdział 2, wyd. PWN
4. J. R. Taylor Mechanika klasyczna, rozdział 1, wyd. PWN
5. W. Tomalczyk Matematyka, część 1, wyd. M. Rożak

Ponadto dodaję linki do skanów dwóch pierwszych pozycji:
W. Rubinowicz Wektory i tensory
S. Banach Mechanika I, rozdział 1

Kolorem niebieskim zaznaczona jest literatura akademicka.

zobacz kolejną część: [Geometria] Wektory w zadaniach

Krzysztof Pawlaczek

komentuj publikację