[GEOMETRIA] Pojęcie wektora :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[GEOMETRIA] Wektory w zadaniach

[MECHANIKA KLASYCZNA] Pojęcie siły tarcia

[TEORIA ZBIORÓW] Pojęcie zbioru, działania na zbiorach

[Genetyka] Transkrypcja i translacja

[GEOMETRIA] Działania na wektorach

[Funkcje] Pojęcie funkcji

Pojęcie wektora

Wielkości możemy podzielić na skalary (tensory rzędu 0), wektory (tensory rzędu 1) i tensory. Tensorami tutaj na pewno zajmować się nie będziemy. Pojęcie tensora jest uogólnieniem wektora. Skupimy się na wektorach i na tyle na ile potrzeba na skalarach.
Wektory są dość ważnym narzędziem przede wszystkim w rękach fizyka. W fizyce dużo wielkości jest wektorami i trzeba umieć się nimi sprawnie posługiwać. W matematyce (od czego powinienem zacząć) pojęcie wektora ułatwia wiele dowodów twierdzeń dotyczących geometrii, głównie analitycznej.
Słowo wektor pochodzi od łacińskiego słowa vector oznaczającego przewoźnika, który kojarzy się z przemieszczeniem; widać zatem, jak mocno pojęcie wektora jest związane z naukami fizycznymi. Słowo skalar wzięło się z tego, że liczbę można wyznaczyć wprost ze skali. Zatem skalar to zwykła liczba mianowana. Mówi się też, że skalary są wielkościami bezkierunkowymi a wektory kierunkowymi.

§ 1. Wektor i pojęcia z nim związane

1.1. Definicja, notacja i wektor zerowy
Wektorem zaczepionym (związanym) nazywamy uporządkowaną parę punktów. Pierwszy z tych punktów jest początkiem a drugi końcem wektora.

Jeśli punkt $\fs2 A$ jest początkiem wektora a punkt $\fs2 B$ końcem, to taki wektor zapisuje się jako

$\vec{AB}$ lub $\bar{AB}$ lub $\mathbf{AB}$

Ostatnie wyrażenie jest zwyczajnym pogrubionym drukiem, używanym przeważnie w książkach. Od kreski już się powoli odchodzi, bo prowadzi to do wielu konfliktów w oznaczeniach. Tutaj stosował będę notację ze strzałką.
Jeśli początkiem wektora $\fs2 \vec{AB}\equiv\vec a$ jest punkt $\fs2 A$ , to wektor ten jest zaczepiony w punkcie $\fs2 A$

Rys. 1. Wektor AB

Jeśli początek i koniec wektora pokrywają się to taki wektor nazywa się wektorem zerowym zaczepionym i zazwyczaj oznacza jako

$\vec 0$ lub

Wektor zerowy nie ma kierunku, zwrotu i wartość (długość) równą zero: $|\vec 0|=0$ . Został wprowadzony choćby po to żeby uściślić pojęcie sumy i różnicy wektorów; tak aby wynikiem tych działań był zawsze wektor.

Długością lub wartością dowolnego wektora $\fs2 \vec{AB}$ nazywa się długość odcinka^[1] $\fs2 \bar{AB}$

Dwa wektory mają ten sam kierunek, gdy leżą na prostych równoległych
dwa wektory nieleżące na jednej prostej mają zgodny zwrot, jeśli leżą w jednej płaszczyźnie, wyznaczonej przez prostą przechodzącą przez ich początki; mają zwrot przeciwny, jeśli leżą na dwóch płaszczyznach uzupełniających się, wyznaczonych przez prostą przechodzącą przez ich początki.
Dwa wektory leżące na jednej prostej mają zgodny zwrot, gdy półprosta wyznaczona przez jeden z nich zawiera się w półprostej wyznaczonej przez drugi wektor. Jeśli półprosta wyznaczona przez jeden wektor nie zawiera się w półprostej wyznaczonej przez drugi wektor, to wektory mają zwroty przeciwne

Rys. 2. Określenie zwrotu i kierunku wektora

Trzeba zauważyć, że o tym czy wektory są przeciwnie zwrócone można mówić tylko wtedy, kiedy te wektory leżą na jednej prostej lub na prostych wzajemnie równoległych.

Dwa niezerowe wektory są równe, jeśli mają ten sam kierunek, zwrot i długość.

Należy zauważyć, że równość wektorów nie wymaga tego żeby wektory wychodziły z tego samego punktu (patrz: wektor swobodny)

Wektor przeciwny do wektora $\fs2 \vec v$ to wektor o tej samej długości, kierunku, ale o przeciwnym zwrocie. Oznacza się go jako

$\mathrm{-}\vec v$

Na rysunku $\fs2 \vec{AB}=\mathrm{-}\vec{CD}$

Rys. 3. Wektory przeciwne

1.2. Definicja wektora swobodnego
Dany jest zbiór $\fs2 K$ wszystkich wektorów płaszczyzny oraz wektor związany $\fs2 \vec{AB}=[A,B]$ . Wektorem swobodnym $\fs2 \vec{AB}$ dla płaszczyzny $\fs2 K$ nazywa się zbiór wszystkich wektorów zaczepionych $\fs2 [A^{\prim},B^{\prim}]$ tej płaszczyzny równych wektorowi zaczepionemu $\fs2 \vec{AB}$

Lub symbolicznie

$\vec{AB}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left\{\[A^{\prim}, B^{\prim}\]:\;\[A^{\prim}, B^{\prim}\]\in K\;\;\wedge\;\; \[A^{\prim}, B^{\prim}\]=\[A,B\]\,\right\}$

§ 2. Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych

Rys. 4. Wektor na osi Ox

Rys. 5. Wektor na w układzie Oxy

Rys. 6. Wektor w układzie Oxyz

2.1. Składowe wektora

:arrow:

oś Ox
Jeśli mamy dane punkty (Rys. 4) A(x_a)

i

na osi Ox, to wektor jest zdefiniowany jako

Definicja wektora na osi Ox

$\fbox{\vec{AB}\stackrel{\mathrm{def}}{=}[x_b-x_a] }$

układ współrzędnych Oxy
Jeśli mamy dane punkty (Rys. 5) A(x_a,y_a)

i

w kartezjańskim układzie współrzędnych, to wektor jest zdefiniowany jako

Definicja wektora w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy

$\fbox{\vec{AB}\stackrel{\mathrm{def}}{=}[x_b-x_a,y_b-y_a] \;\;\Longleftrightarrow\;\;\vec {AB}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c} x_b-x_a \\ y_b-y_a\end{array}\right]}$

układ współrzędnych Oxyz
Jeśli mamy dane punkty (Rys. 6) A(x_a,y_a, z_a)

i

w kartezjańskim układzie współrzędnych, to wektor jest zdefiniowany jako

Definicja wektora w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz

$\fbox{\vec{AB}\stackrel{\mathrm{def}}{=}[x_b-x_a,y_b-y_a, z_b-z_a] \;\;\Longleftrightarrow\;\;\vec {AB}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a\end{array}\right]}$

2.2. Równość wektorów

Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy kiedy ich składowe są równe.

:arrow:

oś Ox
Dajmy wektory (Rys. 4) $\vec{AB}=[x_b-x_a]$ i $\vec{CD}=[x_d-x_c]$ ; wówczas

Równość wektorów na osi Ox

$\fbox{ \vec {AB}=\vec {CD}\;\;\Longleftrightarrow\;\; x_b-x_a=x_d-x_c }$

układ współrzędnych Oxy
Dajmy wektory (Rys. 5) $\vec{AB}=[x_b-x_a,y_b-y_a]$ i $\vec{CD}=[x_d-x_c,y_d-y_c]$ ; wówczas

Równość wektorów w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy

$\fbox{ \vec {AB}=\vec {CD}\;\;\Longleftrightarrow\;\; \left{\begin{array}{c}x_b-x_a=x_d-x_c \\ y_b-y_a=y_d-y_c\end{array}$

układ współrzędnych Oxyz
Dajmy wektory (Rys. 6) $\vec{AB}=[x_b-x_a,y_b-y_a,z_b-z_a]$ i $\vec{CD}=[x_d-x_c,y_d-y_c,z_d-z_c]$ ; wówczas

Równość wektorów w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz

$\fbox{ \vec {AB}=\vec {CD}\;\;\Longleftrightarrow\;\; \left{\begin{array}{c}x_b-x_a=x_d-x_c \\ y_b-y_a=y_d-y_c \\ z_b-z_a=z_d-z_c\end{array}$

2.3. Długość (wartość) wektora

:arrow:

oś Ox
Długością lub wartością wektora $\vec {AB}=[x_b-x_a]$ na osi Ox nazywa się $|\vec {AB}|=|x_b-x_a|$ . Wynika to wprost z rysunku (Rys. 4).

Długość wektora na osi Ox

$\fbox{|\vec{AB}|= |x_b-x_a|}$

układ współrzędnych Oxy
Długością lub wartością wektora $\vec {AB}=[x_b-x_a,y_b-y_a]$ w kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy nazywa się $|\vec {AB}|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$ . Można to wykazać w oparciu o rysunek (Rys. 5). Korzystać będziemy z twierdzenia Pitagorasa. Widać, że

Długość wektora w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy

$\fbox{|\vec{AB}|^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2\;\;\Longleftrightarrow\;\;|\vec{AB}|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}}$

układ współrzędnych Oxyz
Długością lub wartością wektora $\vec {AB}=[x_b-x_a,y_b-y_a,z_b-z_a]$ w kartezjańskim układzie współrzędnych Oxyz nazywa się $|\vec {AB}|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}$ . Można to wykazać (nie będę tego robił) w oparciu o rysunek korzystając dwa razy z twierdzenia Pitagorasa (Rys. 6).

Długość wektora w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz

$\fbox{\begin{array}{c}|\vec{AB}|^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2\\ \Longupdownarrow \\ |\vec{AB}|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}\end{array}}$

2.4. Współrzędne środka wektora w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy

Rys. 7. Współrzędne środka wektora

Niech dane będą punkty $A(x_a,y_a),\;B(x_b,y_b),\;S(x_s,y_s)$ , gdzie punkt

jest równo odległy od punktu

i

(jak na rysunku). Zdefiniujmy wektor $\vec{AB}=[x_b-x_a,y_b-y_a]$ oraz $\vec{AS}=[x_s-x_a,y_s-y_a]$ a także $\vec{SB}=[x_b-x_s,y_b-y_s]$ . Posługując się pojęciem wektora swobodnego $\vec{AS}=\vec{SB}$ , zatem

$\left{\begin{array}{c}x_s-x_a=x_b-x_s \\ y_s-y_a=y_b-y_s\end{array}$

$\Longupdownarrow$

$\left{\begin{array}{c}2x_s=x_a+x_b \\ 2y_s=y_a+y_b\end{array}$

$\Longupdownarrow$

$\left{\begin{array}{c}x_s=\frac{x_a+x_b}{2} \\ y_s=\frac{y_a+y_b}{2}\end{array}$

$\Longupdownarrow$

Współrzędne środka wektora $\vec{AB}$

$\fbox{S\left(\frac{x_a+x_b}{2},\frac{y_a+y_b}{2}\right)}$

2.5. Przesunięcie (translacja) o wektor
Translacją nazywa się przekształcenie izometryczne polegające na równoległym przesunięciu jakiegoś obiektu matematycznego (punktu, figury geometrycznej) o ustalony wektor $\vec{v}$ na prostej bądź płaszczyźnie. Zgodnie ze słowem izometria, translacja nie zmienia rozmiarów przesuwanego obiektu, ani jego kształtu względem innych nie podlegających translacji obiektów.
Translacja dla punktu jest zapisywana jako

Translacja o wektor $\vec v$

$\fbox{\text{Tr}_{\mathbf{v}}(A)=B}$ lub $\fbox{A\stackrel{\text{Tr}_{\mathbf{ v}}}{\longrightarrow}B}$

co należy czytać: obrazem punktu w translacji o wektor $\vec v$ jest punkt .

$\vec{AB}=\vec v$

Rys. 8. Translacja o wektor v

^[1] tutaj dochodzi do rzadkiej kolizji wielu oznaczeń. W matematyce oznaczenie $\bar K$ oznacza liczbę sprzężoną do liczby zespolonej

. Ale takie samo oznaczenie nad dwoma literami może oznaczać wektor lub symbol odcinka, np. wektor $\bar{AB}$ wygląda tak samo jak symbol odcinka $\bar{AB}$ . W fizyce podkreślenie występuje zazwyczaj tylko nad jedna literą i symbolizuje wartość średnią danej wielkości, np. $\bar{F}$ to średnia wartość z

. Na szczęście działy te są dość odległe i trudno pomylić sprzężenie liczby zespolonej z oznaczeniem odcinka; jednakże symbol odcinka z wektorem może zdarzyć się pomylić każdemu. Dlatego zamiast pisać, długość odcinka $\bar{AB}$ dalej będę pisał po prostu |AB|

, a wektory oznaczał $\vec{AB}$ , aby nic ze sobą nie kolidowało.

Literatura:
1. W. Rubinowicz Wektory i tensory, wyd. PTM
2. S. Banach Mechanika I, rozdział 1, wyd. ?
3. D. Halliday, R. Resnick Podstawy fizyki, rozdział 2, wyd. PWN
4. J. R. Taylor Mechanika klasyczna, rozdział 1, wyd. PWN
5. W. Tomalczyk Matematyka, część 1, wyd. M. Rożak

Ponadto dodaję linki do skanów dwóch pierwszych pozycji:
W. Rubinowicz Wektory i tensory
S. Banach Mechanika I, rozdział 1

Kolorem niebieskim zaznaczona jest literatura akademicka.

by Krzysztof Pawlaczek

zobacz kolejną część: [Geometria] Działania na wektorach

komentuj publikację