granice ciagow- skad ten wynik? :: Zadania / Polski Serwis Naukowy

" "

skad granica ciagu wyszla 1/3 skoro za cos podstawiam -1 i 1?
lim┬(n→∞)⁡〖(〖cos〗^2 n+n)/(3n+1)〗

magda

maadziaa1991

»więcej

Post dodany: |28 Paź 2010|, 2010 20:26

Data rejestracji: 22 Lip 2006 postów: 1989

" "

Twój zapis jest nieczytelny. Czy chodzi Ci o granicę $\lim_{n\to\infty}\;\frac{\cos^2 n+n}{3n+1}$ ?

Jeśli tak to nie możesz oglądać się wyłącznie na maksymalne i minimalne wartości, jakie przyjmuje cosinus. Poza tym tutaj $\cos$ jest w kwadracie, więc jego wartości nie mogą być ujemne.

Stosuje się tu twierdzenie o kanapce (albo jak kto woli o 3 ciągach):
wyrażenie $\frac{\cos^2 n+n}{3n+1}$ bardzo łatwo oszacować przez skrajne wartości $\cos^2 n$ , tzn zauważając, że $0\leq cos^2n\leq 1$ .

Dalej spróbuj sama.

GŁóWNY REGULAMIN | LaTeX | Zadania-Regulamin | Kompendium matematyki

Matematyka jest jak kobieta. Pierw trzeba ją pokochać, żeby coś wyszło..

Ostatnio zmieniony przez przem_as |28 Paź 2010|, 2010 23:26, w całości zmieniany 3 razy

przem_as

»więcej

Post dodany: |28 Paź 2010|, 2010 22:19

Data rejestracji: 11 Cze 2007 postów: 5113

" "

przem_as napisał/a

twierdzenie o kanapce

Tego, to jeszcze nie słyszałem

Tylko o policjantach i pijaku mi się obiło o uszy.

W mianowniku oczywiście też miało być

Pomóż - wystarczy kliknięcie!

Nie odpowiadam na PW z zadaniami.

_Mithrandir

»więcej

Post dodany: |28 Paź 2010|, 2010 23:00

Data rejestracji: 08 Kwi 2008 postów: 816

" "

Tak jak powiedział przemas, cosinus jest ograniczony więc jego granica wynosi 0. Pozostaje więc obliczyć stosunek współczynników przy najwyższych potęgach n w liczniku i mianowniku (oczywiście wykładniki przy n muszą być takie same). Więc jakby nie patrzeć, wychodzi 1/3

lemon

»więcej

Post dodany: |28 Paź 2010|, 2010 23:30

Data rejestracji: 22 Lip 2006 postów: 1989

" "

Dzięki _Mithrandir, jak zwykle musiałem gdzieś zrobić literówkę

Cytat

Tak jak powiedział przemas, cosinus jest ograniczony więc jego granica wynosi 0.

Z pierwszą częścią się zgadzam, ale już z drugą nie. Granica ciągu $\cos^2n$ jest nieokreślona, tzn jest to ciąg rozbieżny! Trzeba skorzystać z twierdzenia o 3 ciągach.

GŁóWNY REGULAMIN | LaTeX | Zadania-Regulamin | Kompendium matematyki

Matematyka jest jak kobieta. Pierw trzeba ją pokochać, żeby coś wyszło..

Ostatnio zmieniony przez przem_as |28 Paź 2010|, 2010 23:31, w całości zmieniany 1 raz

przem_as

»więcej

Post dodany: |29 Paź 2010|, 2010 14:53

Data rejestracji: 08 Kwi 2008 postów: 816

" "

przem_as napisał/a

Z pierwszą częścią się zgadzam, ale już z drugą nie. Granica ciągu \cos^2n jest nieokreślona, tzn jest to ciąg rozbieżny!

Mógłbyś to rozwinąć?

lemon

»więcej

Post dodany: |29 Paź 2010|, 2010 15:15

Data rejestracji: 22 Lip 2006 postów: 1989

" "

Wystarczy spojrzeć na wykres i już widać, że nie ma żadnego dążenia do 0.

Ciąg $\cos^2 n$ jest okresowy. Gdyby

było granicą tego ciągu, to znaczyłoby, że dla dowolnego $\varepsilon$ istnieje miejsce n_0

od którego wszystkie wyrazy ciągu $\cos^2 n$ są o odległości mniejszej niż $\varepsilon$ od

, a to nie jest prawdą.

Poza tym prawdziwe jest takie twierdzenie: ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Tu jest ograniczoność, ale nie ma monotoniczności. Można też spróbować pokazać, że ciąg ten nie jest ciągiem Cauchy'ego.

Tylko po co to wszystko?
Zadanie sprowadza się do wygodnego zastosowania tw. o 3 ciągach, które daje granicę 1/3.

GŁóWNY REGULAMIN | LaTeX | Zadania-Regulamin | Kompendium matematyki

Matematyka jest jak kobieta. Pierw trzeba ją pokochać, żeby coś wyszło..

przem_as

»więcej

Post dodany: |30 Paź 2010|, 2010 08:49

Data rejestracji: 08 Kwi 2008 postów: 816

" "

Czegoś tu nie rozumiem, cosinus jest monotoniczny (przedziałami oczywiście) a jego kwadrat już nie?

lemon

»więcej

Post dodany: |30 Paź 2010|, 2010 09:08

Data rejestracji: 11 Cze 2007 postów: 5113

" "

Jest monotoniczny przedziałami i to jest problem.

Pomóż - wystarczy kliknięcie!

Nie odpowiadam na PW z zadaniami.

_Mithrandir

»więcej

Post dodany: |30 Paź 2010|, 2010 11:20

Data rejestracji: 22 Lip 2006 postów: 1989