Jak zrozumieć matematyka? :: Artykuły / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

Mobilny świat oczami dzieci, czyli „Moja Pierwsza Komórka” w szkołach

Status CUDA Research Center dla Politechniki Gdańskiej

Brytyjski matematyk o tym, czy Polska może zarobić miliardy na matematyce

Badania rzucają światło na sposób działania naturalnych komórek zabijających

Rak w Polsce: skuteczność leczenia zależy od miejsca zamieszkania

Czy na pewno zużycie jest różne w zależności od klasy paliwa? Warto się zastanowić...

Czy matematyka można uprawiać jedynie poprzez pisanie wierszy przepełnionych skomplikowanymi formułami, które zawierają litery z przynajmniej kilku alfabetów? Matematycy starają się nie tylko o matematyce pisać, ale również o niej opowiadać.

Spróbuję w tym krótkim tekście podać kilka dość uniwersalnych i prostych przykładów, które są powszechnie wykorzystywane, ale również bardzo dokładnie opisują pewne zależności. W dyskusji bowiem, podobnie jak na piśmie, należy przestrzegać jednoznaczności i precyzji wypowiedzi.

Matematyk mówi „albo”

Z lekcji matematyki znany jest spójnik logiczny „lub” (symbol $\fs2 \vee$ ), który łączy dwa zdania. Przypomnę, że w matematyce rozważa się zdania, którym można przypisać jednoznacznie i obiektywnie prawdę lub fałsz. Zdanie utworzone z dwóch zdań połączonych spójnikiem „lub” jest prawdziwe tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe.
Zdania:

„Kupię hiszpańskie ogórki lub niemieckie czekoladki.”
„Kupię hiszpańskie ogórki albo niemieckie czekoladki.”

w języku potocznym oznaczają praktycznie to samo. Matematyk zgodnie z tym, co jest powyżej napisane o spójniku „lub” będzie inaczej rozumiał zdanie pierwsze. Dopuszczalna dla niego jest sytuacja, w której osoba wypowiadająca to zdanie wraca z zakupów z ogórkami i czekoladkami.

W matematyce rozumienie powyższych zdań tak, jak w języku potocznym, zapewnia spójnik „albo” (oznacza się go przez $\fs2 \underline{\vee}$ ). Zdanie zwierające ten spójnik jest prawdziwe tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań składowych jest prawdziwe.
Zatem drugie zdanie dla matematyka oznacza tyle, że jeśli zdanie ma być prawdziwe, to wybór musi paść albo na na hiszpańskie warzywo albo niemieckie łakocie.

Matematyk szuka tej jednej

Kolejne przykłady będą wymagały już pewnych matematycznych zapisów, które spróbuję przełożyć na „opis słowno-muzyczny” (jak to niekiedy mawiają ścisłowcy). Załóżmy, że mamy kilka (skończoną liczbę) liczb rzeczywistych.
Niech będzie ich dokładnie $\fs2 n$ , tzn.: $\fs2 a_1,\dots, a_n\in\mathbb{R}$ .

Jeśli matematyk chce powiedzieć, że nie wszystkie z tych liczb są równe 0, to zauważmy, że tak na prawdę chce przekazać krótko następującą zależność:

$a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2>0$

Zauważmy, że jest to dosyć eleganckie zapisanie wypowiedzianej zależności. Po lewej stronie mamy liczby większe lub równe 0, zatem jeśli taka suma ma być większa od 0, to musi być chociażby jedna spośród liczb $\fs2 a_i \,(1\leq i\leq n)$ , która jest różna od 0, co wyczerpuje wymagania stawiane w warunku.

Zostańmy przy wybranych liczbach. Rozważmy inny warunek – wśród tych liczb znajduje się co najmniej jedna, która jest równa 0. Z jednej strony możemy to zapisać korzystając z kwantyfikatorów, wówczas mamy zapis postaci:

$\exists_{i\in\{1,\dots, n\}}\; a_i=0$

Niekiedy taki zapis jest jednak zbyt rozbudowany i może rozpraszać uwagę, na przykład gdy mówimy o warunku rozwiązania jakiegoś zadania. Istnieje jednak prostszy sposób zapisu tej zależności:

$a_1\cdot a_2\cdot \dots\cdot a_n=0.$

Taki iloczyn zeruje się tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy 0.

Matematyk szuka właściwego „momentu”

W matematyce powszechnie stosuje się konstrukcje:

„od pewnego momentu” lub „od pewnego miejsca”

Znaczenie tych zwrotów jest generalnie podobne. Rzecz w tym, aby określić miejsce w czasie lub przestrzeni, od którego zachodzi interesująca nas zależność. Rozważmy zwrot: „od pewnego momentu obiekt x ma cechę ze zbioru Q”. Matematycznie zapisuje się to w sposób następujący:

$\exists_{t_0}\; \forall_{t>t_0}\quad x(t)\in Q$

oznacza to w praktyce, że t_0

jest tym oczekiwanym momentem (lub miejscem), od którego już wszystkie

mają określoną cechę.

Mówimy o tym na dość wysokim poziomie ogólności. Przyjrzyjmy się, jakimi elementami muszą być liczby $\fs2 t$ i $\fs2 t_0$ . Na pewno są elementami jakiegoś zbioru, dla którego, dla którego standardowa relacja mniejszości (lub większości) ma sens. Naturalnymi przykładami są zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych dodatnich. Czytelnikowi pozostawiam refleksję na temat dlaczego nie mówimy na przykład o zbiorze liczb całkowitych i całym zbiorze liczb rzeczywistych.
W wypadku liczb naturalnych mówimy o czasie dyskretnym, czyli podzielonym na równe odstępy czasu, pomiędzy którymi nie zmienia się nic, np. przy skali sekundowej, nie dopuszczamy możliwości zmierzenia cechy dokładnie w 22,4 s. Dla liczb rzeczywistych mowa jest o czasie ciągłym. Wówczas możemy mierzyć cechę w dowolnym momencie lub odcinku czasu.

Zostańmy jednak przy liczbach naturalnych. Zapis:

$\exists_{t_0\in\mathbb{N}}\;\forall_{t>t_0\\ t\in\mathbb{N}}\quad x(t)\in Q$

można interpretować jeszcze w inny sposób: „prawie wszystkie $\fs2 x$ mają cechę ze zbioru $\fs2 Q$ ”.
Zwrot „prawie wszystkie” jest również bardzo popularny wśród matematyków i oznacza tyle, co „wszystkie, poza skończoną ilością”. Zauważmy, że taka interpretacja nie jest właściwa dla liczb rzeczywistych, bo w odcinku $\fs2 [0, t_0]$ mieści się „nieskończenie wiele” liczb. Tego problemu nie ma dla liczb naturalnych, bowiem w zbiorze $\fs2 [0,t_0]\cap\mathbb{N}$ znajdziemy tylko $\fs2 t_0+1$ liczb, które nie wpływają na ogólną tendencję pozostałych nieskończenie wielu $\fs2 x$ , zależnych od nieskończenie wielu liczb naturalnych, liczonych od $\fs2 t_0+1$ .

Kilka podanych przeze mnie przykładów nie wyczerpuje tematu. Każda dyscyplina matematyczna odznacza się swoim własnych charakterem oznaczeń, a także słownictwem wraz ze zwrotami przez nie tworzonymi. Wiele z nich jest tworzonych na podstawie definicji, które niekiedy bardzo trafnie i obrazowo określają matematyczną obserwację.

komentuj publikację

Czy wiesz że...?

wersja BETA

Rozumowanie przekątniowe to klasyczny przykład rozumowania w dowodzie nie wprost. Za jego pomocą można wykazać na przykład, że moc zbioru liczb rzeczywistych z przedziału

[0,1]

jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych. Natychmiastowy wniosek z tego faktu podawany jest obrazowo: liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych. pełny tekst

W matematyce, elementarna teoria liczb jest działem teorii liczb, posługującym się elementarnymi metodami. Zakres elementarnej teorii liczb jest płynny i zmienia się w czasie. Przyjęto, że unika ona stosowania funkcji analitycznych (podczas, gdy stosowanie liczb zespolonych wciąż można uznać za elementarne). Elementarna teoria liczb, choć wydzielona, to zawarta jest w pozostałych działach teorii liczb: w algebraicznej, analitycznej, geometrycznej, kombinatorycznej. pełny tekst

Ciąg w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem. pełny tekst

Moduł "Czy wiesz że...?" (wersja testowa, beta): definicje/pojęcia wygenerowane w obrębie tego modułu pochodzą z Wikipedii i udostępniane są na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Dostęp do pełnej wersji każdego hasła (oraz dokładnch informacji na temat licencji, autora oraz edycji) możliwy jest po kliknięciu w odnośnik opisany jako "pełny tekst".