Usłyszałem niedawno taką zagadkę:
"Jesteś podróżnikiem pragnącym dotrzeć do miasta. W pewnym momencie droga, którą idziesz rozdziela się na dwie, których końca nie dostrzegasz. Jedna prowadzi do miasta, druga nad przepaść. Przy każdej z nich stoi jeden z bliźniaków; jeden z nich zawsze kłamie, drugi zaś zawsze mówi prawdę. Możesz zadać tylko jedno pytanie, tylko jednemu z nich, które pomoże Ci wybrać odpowiednią drogę. Jakie to pytanie, przy założeniu że bracia wiedzą o sobie wszystko?"

Sam znalazłem dwa rozwiązania, ale słyszałem że jest podobno też i trzecie. Może z Waszą pomocą uda się je znaleźć?

"Którą drogę wskazałby mi twój brat, gdybym zapytał go o drogę do miasta?"
Droga zła - A
Droga dobra - B
Tak czy inaczej, trzeba wybrać drogę inną od wskazanej, bo:
Jeśli zapytalibyśmy kłamczucha o drogę ją wskazałby jego brat, to powiedziałby, że jego brat wskazałby nam drogę A, czyli powinniśmy iść drogą B, bo zostaliśmy okłamani.
Jeśli zapytalibyśmy brata prawdomównego, to powiedziałby nam prawdę: mój brat wskaże wam drogę A (tę złą), czyli powinniśmy iść drogą B.

Ale to pewnie sam już odkryłeś

Tak, drugie rozwiązanie to zapytanie w tej samej konwencji o drogę prowadzącą nad przepaść.
Warto też o tym wspomnieć, bo rozwiązania są ewidentnie różne, choć bardzo podobne

Poszło szybko, ale zastanawiam się nad rzekomym trzecim rozwiązaniem. Nie jestem pewien czy w ogóle istnieje, ale warto chyba pomyśleć. Być może należałoby to jakoś sformalizować, to znaczy podać formalną regułę logiczną, która uzasadnia to rozwiązanie. Nad tym się jeszcze nie zastanawiałem, ale może razem coś znajdziemy

Co do 3. to nie wiem czy można coś jeszcze wymyślić.
Co do funktorów logicznych, to może coś takiego:
Za pomocą alternatywy wykluczającej

p - zdanie prawdziwe, czyli wypowiedziane przez brata prawdomównego
q - zdanie fałszywe, czy wypowiedziane przez łgarza

Hmm.. muszę to jeszcze przemyśleć.

Wcześniej miałem skojarzenie z funkcjami zdaniowymi, które zdaniom przypisują wartość logiczną - tak jak każdemu z braci po wypowiedzeniu tego samego zdania przypiszemy różną wartość logiczną. Ale to chyba nie tędy droga.

Co dokładnie według Twojego zapisu oznaczałaby koniunkcja "p i nie q" w kontekście tej historii?

Szczerze powiedziawszy postąpiłem po fizycznemu: rzuciłem pod gilotynę tę alternatywę wykluczającą i sprawdzałem czy pasuje do przykładu.
na początku wydawało mi się to jasne: alternatywa wykluczająca - prawdziwa jeśli któreś ze zdań jest prawdziwe, ale teraz trochę to przemyślałem i zdaje się, że sama definicja tej alternatywy nie wystarczy. Potrzebne jest bardziej rozbudowane rozumowanie.

W czasie jak się produkowałem, do głowy przyszło mi coś takiego.

Zostańmy przy naszym pytaniu (żebym się nie pogubił zostanę przy "moim" pytaniu). Zdanie p (względnie q) informuje nas o tym co poleciłby nam drugi z braci. Doszliśmy do tego, że musimy iść drogą wskazaną przez zdanie q (względnie p)*. Swoją drogą, lepiej byłoby chyba zdania p i q uważać za "prawidłowe wybory", aniżeli zdania, z których mamy domyślić się jakiego dokonać wyboru, tzn. p - droga P jest dobra, q - droga Q jest dobra. Niech tak pozostanie.

Poddałbym takie coś pod weryfikację (znów po fizycznemu): , w międzyczasie sprawdziłem, że jest to tautologia.

* względność zależy od tego, czy usłyszane przez nas zdanie było zdaniem p czy q rzecz jasna.

To już wydaje mi się nieco bliższe.
W takim razie można też zapisać tak :

Teraz wiemy, że dla dowolnych p i q mamy zawsze prawdę. Stąd w szczególności dla i (bo chyba tak trzeba na to patrzeć) mamy zawsze prawdę.

Czyli przetwarzając ostatnią równość na j. polski:
"Z tego, że któraś z dróg jest prawdziwa wynika, że możemy wybrać jedną lub drugą".
Przecież do tego logiki matematycznej nie trzeba było, tylko "zwykła logika". Ot po kilku postach mamy zaskakujące rozwiązanie

No rzeczywiście, ale chyba nie o to nam chodziło
Muszę jeszcze o tym pomyśleć.