oo, czyli ω, czyli $\aleph_0$ jest liczbą (porządkową, lub jak kto woli kardynalną). Jeśli natomiast negujesz jej istnienie, czyli zgadzasz się tylko na nieskończoność pozorną, to te szeregi po prostu nie mają sumy. Można ewentualnie powiedzieć, że suma tego szeregu jest większa od każdej liczby rzeczywistej (zapis s->oo oznacza właśnie taki fakt). Formalnie ujmiemy to tak, że dla każdej liczby rzeczywistej x, znajdę taką liczbę naturalną n_0, że dla każdej liczby naturalnej n>n_0 będę miał s_n>x (s_n - n-ta suma częściowa).

innymi słowy - podaj mi liczbę, która według Ciebie jest sumą tego szeregu, a ja Ci udowodnię, że nią nie jest

Niestety tak to już jest, że nie wszystko chce być liczbą rzeczywistą.

Nieskończoność nie jest liczbą - to tylko takie oznaczenie...

Taka suma liczb naturalny niekiedy bywa liczbą zespoloną.
Nawet chyba podawałem tu taki przykładzik gdzie wychodzi dokładnie i.

wil napisał/a

Znacie takie coś: 1 + 1 + 1 + ... = -1/2

Tak, to niesłychanie znana równość:
0 =
-1 + 1 =
-1 + - 2 * (-1/2) =
-1 - 2 * (1 + 1 + 1 + 1 + ...) =
-1 - (1 + 1 + 1 + 1 + ...) - (1 + 1 + 1 + 1 + ...) =
-(1 + 1 + 1 + 1 + ...) - (1 + 1 + 1 + 1 + ...) =
-2 * (1 + 1 + 1 + 1 + ...) =
-2 * (-1/2) =
1

Zresztą to mój ulubiony wynik na kolokwiach i egzaminach.

Ale się napociłeś i jeszcze do tego katastrofalny błąd walnąłeś, bo przecież wiemy że: 0 != 1.

jeden chyba wyjdzie z sumy liczb Fibonacciego:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + ... = 1