[MECHANIKA KLASYCZNA] Prędkość i szybkość średnia :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F. kwadratowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

[F.wielomianowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

[MECHANIKA KLASYCZNA] Nieinercjalne układy odniesienia

Szybkość średnia

W poniższym temacie zajmę się zagadnieniem średnich: szybkości i prędkości. Na co dzień nie rozróżniamy tych obu tych pojęć, ale w fizyce wprowadza ich odrębność. Na początku jednak musimy zapoznać się z kilkoma podstawowymi definicjami.

Materiał tu zawarty jest przeznaczony głównie dla uczniów liceów, ale niektóre elementy, omawiane zwykle w szkołach policealnych i uczelniach wyższych, są warte omówienia już w szkole średniej. Jeśli takowe się pojawią, zostaną napisane mniejszą czcionką.

§ 0. Podstawowe definicje

Układ odniesienia jest to obiekt fizyczny względem którego obserwowane jest dane zjawisko fizyczne i z którym związany jest dany układ współrzędnych.

Położenie $\fs2 \vec {\bf r}$ jest to wektor mający początek w początku wybranego układu odniesienia a koniec w punkcie, w którym znajduje się ciało. Położenie zwane jest także wektorem wodzącym ciała.

Ruch jest to zmiana położenia położenia w czasie. Ruch jest zatem w pełni scharakteryzowany poprzez funkcję

$\fs2 \vec{\bf r}=\vec{\bf r}(t)$ .

Tor jest to krzywa geometryczna jaką zakreśla ciało podczas swojego ruchu.

Drogą $\fs2 s$ , na przedziale czasu $\fs2 [t_1;t_2]$ , nazywamy długość fragmentu toru, który w tym czasie pokonało ciało.

Prędkością $\fs2 \vec{\bf v}$ w chwili

nazywamy zmianę położenia w czasie $\fs2 [t;t+\Delta t]$ , przy czym $\fs2 \Delta t\to 0$ (czytamy: delta t dąży do zera)

$\vec {\bf v}= \left(\frac{\Delta \vec{\bf r}}{\Delta t}\right)_{\Delta t\to 0}$ .

Ściśle matematycznie fakt ten zapisujemy

$\vec {\bf v}(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\,\frac{\vec{\bf r}(t+\Delta t)-\vec {\bf r}(t)}{(t+\Delta t)-t}=\lim_{\Delta t\to 0}\,\frac{\Delta \vec{\bf r}(t)}{\Delta t}=\frac{\text{d}\vec{\bf r}(t)}{\text{d}t}$ .

$\fs2 \vec{\bf v}=\text{d}\vec{\bf r}/\text{d}t$ nazywamy pierwszą pochodną położenia po czasie. Wyrażenie $\fs2 [\vec{\bf r}(t+\Delta t)-\vec {\bf r}(t)]/[(t+\Delta t)-t]$ nazywane jest ilorazem różnicowym. Pochodna jest zatem granicą ilorazu różnicowego przy $\fs2 \Delta t\to 0$ . W ogólnym przypadku jest to wyrażenie nieoznaczone postaci "0/0", które może dać wartość skończoną. Badaniem m.in. takich granic zajmuje się rachunek różniczkowy, którego podstawy stworzyli niezależnie od siebie Izaak Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz.

Szybkością $\fs2 v$ w chwili $\fs2 t$ nazywamy wartość prędkości w tejże chwili czasu

$v(t)=|\vec{\bf v}(t)|$ .

Jeśli położenie ciała zapiszemy jako $\fs2 \vec{\bf r}=(x;y)$ , to przemieszczenie (zmiana położenia) w czasie $\fs2 [t;t+\Delta t]$ wyniesie $\fs2 \Delta\vec{\bf r}=(\Delta x;\Delta y)$ . Wartość przemieszczenia łatwo policzyć z twierdzenia Pitagorasa: $\fs2 s= [(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]^{1/2}$ . Podzielmy teraz drogę $\fs2 \Delta s$ przez $\fs2 \Delta t$ dążące do 0. Wówczas

$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\sqrt{$\frac{\Delta x}{\Delta t}$^2+$\frac{\Delta y}{\Delta t}$^2}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=v$ .

Rozszerzenie rozważań na przypadek trójwymiarowy, jak i ograniczenie się do jednego wymiaru, nie stanowi problemu.
Wychodząc zatem z przyjętej definicji szybkości średniej pokazałem, że $\fs2 v(t)=$\frac{\Delta s}{\Delta t}$_{\Delta t\to 0}$ . Często to ostatni rezultat jest przyjmowany za definicję szybkości średniej. Niemniej jednak oba określenia są sobie w pełni równoważne. W dalszej części, łatwiej będzie mi posługiwać się tym ostatnim wynikiem.

§ 1. Wartości średnie

W poprzednim paragrafie rozważaliśmy pojęcia prędkości i szybkości w pewnej chwili czasu. Musieliśmy wówczas używać granicy, z długością przedziału czasu dążącą do zera. Tym razem zajmiemy się zagadnieniem znajdowania prędkości i szybkości w pewnym okresie czasu $\fs2 [t_1;t_2]$ bez zbliżania się z $\fs2 t_2$ do $\fs2 t_1$ . Są to tzw. wartości średnie szybkości i prędkości. Warto zauważyć, że im bardziej zbliżamy się z $\fs2 t_2$ do $\fs2 t_1$ tym lepiej możemy podać prędkość czy szybkość chwilową. Podam teraz proste definicje tych pojęć, używając nawiasów $\fs2 \langle \cdot \rangle$ na oznaczenie wartości średniej.

Prędkością średnią $\fs2 \langle \vec{\bf v}\rangle$ na przedziale czasu $\fs2 [t_1;t_2]$ nazywamy stosunek przemieszczenia (przebytego z tym czasie) do czasu trwania ruchu

$\langle \vec{\bf v} \rangle =\frac{\vec{\bf r}(t_2)-\vec{\bf r}(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\Delta \vec{\bf r}}{\Delta t}$ .

Szybkością średnią $\fs2 \langle v \rangle$ na przedziale czasu $\fs2 [t_1;t_2]$ nazywamy stosunek drogi (przebytej z tym czasie) do czasu trwania ruchu

$\langle v \rangle =\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ .

W dalszej części zajmę się w głównej mierze szybkością średnią, pomijając omówienie prędkości średniej. Tłumaczę to na prostym przykładzie. Lekkoatleta w biegu na czterysta metrów pokonuje drogę $\fs2 \Delta s=400\text{ m}$ ; jego przemieszczenie natomiast jest wektorem zerowym $\fs2 \Delta\vec{\bf r}=\vec{ \bf 0}$ . Zatem w tym przypadku zagadnienie prędkości średniej jest mało interesujące, gdyż nie mówi nic o tempie naszego ruchu (w przeciwieństwie o szybkości średniej). I tak, Michael Johnson w biegu na 400 m uzyskał, do dziś ważny, rekord świata na tym dystansie wynoszący 43.18 s, a zatem biegł ze średnią szybkością 33.35 km/h podczas zawodów. Z pewnością średnia prędkość nie oddałaby obrazu ani sekundy tego biegu.

§ 2. Szybkość średnia w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Rozpatrzmy ruch jednostajny po linii prostej. Zgodnie z charakterystyką tego ruchu, ciało ma stałą w czasie prędkość: $\fs2 \vec{\bf v}=\vec{\text{const}}$ . Każde zagadnienie jednowymiarowe można sprowadzić z równań wektorowych do skalarnych, a zatem przyjmijmy układ współrzędnych, w którym ruch opiszemy za pomocą jednej współrzędnej. Weźmy na przykład kartezjański układ współrzędnych, gdzie ruch opiszę za pomocą współrzędnej $\fs2 x$ -owej, a dla podkreślenia znaczenia drogi, będę pisał $\fs2 \Delta s$ zamiast $\fs2 \Delta x$ ; pominę także indeks dolny $\fs2 v_x$ przy prędkości.

Wiemy, że w tym ruchu ciało pokonuje jednakowe odcinki drogi $\fs2 \Delta s$ w tym samym czasie $\fs2 [t_1;t_2]$ . To prowadzi do równania

$s(t_2)-s(t_1)=v(t_2-t_1)\;\Leftrightarrow\; \Delta s=v\Delta t$ .

Zgodnie z definicją szybkości średniej mamy

$\langle v\rangle=\frac{\Delta s}{\Delta t}=v$ ,

co pozwala stwierdzić, że w ruchu jednostajnym prostoliniowym szybkość jest stała, dlatego stanowi ona także szybkość średnią dla tego ruchu. Jest to rezultat, który można było podać od razu, ale zbyt częste poleganie na intuicji może prowadzić do niebezpiecznych nawyków. Ze względu na elementarność tego przykładu takie zagrożenie z pewnością nie istniało, ale zawsze warto odwoływać się do matematyki w zagadnieniach fizycznych.

Jeżeli w różnych okresach ruchu ciało miało inne szybkości, to posłużyć się trzeba tzw. średnią arytmetyczną ważoną, gdzie wagami są okresy czasu. Pokazują to poniższe przykłady.

Przykład 1
Przez pewien okres czasu $\fs2 t_1$ ciało poruszało się z szybkością $\fs2 v_1$ a następnie, w odstępie czasu $\fs2 t_2$ z szybkością $\fs2 v_2$ . Ile wynosi szybkość średnia podczas tego ruchu?

Rozwiązanie:
Zauważmy, że w zadaniu mowa jest o szybkości, zatem nie ma informacji o kierunku ruchu. Nie jest zatem ważne czy ciało porusza się cały czas do przodu, w bok czy zawraca co pewien czas. Istotne są droga i czas potrzebny do jej pokonania.

Droga przebyta w czasie $\fs2 t_1$ wyniesie $\fs2 s_1=v_1t_1$ , a w czasie $\fs2 t_2$ $\fs2 s_2=v_2t_2$ . Całkowita droga pokonana w czasie tego ruchu to oczywiście $\fs2 S=s_1+s_2=v_1t_1+v_2t_2$ . Całkowity czas trwania tego ruchu: $\fs2 T=t_1+t_2$ . Szybkość średnia będzie zatem wynosić

$\langle v\rangle =\frac{S}{T}=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}$ .

Ta postać okazuje się być bardzo przydatna przy rozwiązywaniu zadań i dalej często będziemy z niej korzystać.

Dla $\fs2 N$ okresów czasu wzór powyższy zapisuje się jako:

$\fs3 \langle v\rangle = \frac{\sum_{\fs1{j=1}}^{\fs1{j=N}} v_jt_j}{\sum_{\fs1{j=1}}^{\fs1{j=N}}t_j}$ ,

gdzie "duża sigma"oznacza symbol sumowania począwszy od 1 do N, np.

$\fs3 \sum_{\fs1{j=1}}^{\fs1{j=N}}j\text{e}^j=1\cdot \text{e}^1+2\cdot \text{e}^2+3\cdot \text{e}^3+\cdots +N\cdot \text{e}^N$ ,
$\fs3 \sum_{\fs1{j=0}}^{\fs1{j=N}}v_jt_j=v_0t_0+v_1t_1+v_2t_2+\cdots +v_Nt_N$ .

Przykład 2
Ciało przez pierwszą połowę czasu porusza się z szybkością $\fs2 v_1$ a pozostałą połowę czasu z szybkością $\fs2 v_2$ . Jaka jest szybkość średnia tego ciała podczas całego ruchu?

Rozwiązanie:
Korzystamy z rezultatu uzyskanego poprzednio $\fs2 \langle v\rangle=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}$ . Wiemy, że całkowity czas trwania ruchu to $\fs2 t_1+t_2=T$ i z warunków zadania $\fs2 t_1=t_2=\frac{T}{2}$ , zatem

$\langle v\rangle=\frac{\frac{T}{2}\left(v_1+v_2\right)}{T}=\frac{v_1+v_2}{2}$ .

Przykład 3
Ciało połowę całej drogi poruszało się z szybkością $\fs2 v_1$ a pozostałą połowę drogi z szybkością $\fs2 v_2$ . Jaka jest szybkość średnia tego ciała podczas całego ruchu?

Rozwiązanie:
Korzystajmy z ponownie z naszego wzoru: $\fs2 \langle v\rangle =\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}$ . Wiemy, że całkowita droga to $\fs2 s_1+s_2=S$ , a z treści zadania wynika, że $\fs2 s_1=s_2=\frac{S}{2}$ , zatem $\fs2 t_1=\frac{s_1}{v_1}=\frac{S}{2v_1}$ i $\fs2 t_2=\frac{s_2}{v_2}=\frac{S}{2v_2}$ . Tak więc

$\langle v\rangle=\frac{\frac{v_1S}{2v_1}+\frac{v_2S}{2v_2}}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}=\frac{S}{\frac{S}{2}\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right)}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2}{\frac{v_1+v_2}{v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ .

Przykład 4
Rowerzysta jechał z miasta A do miasta B. Połowę drogi z A do B przejechał z szybkością $\fs2 v_1$ . Następnie przez pierwszą połowę pozostałego czasu podróży jechał z szybkością $\fs2 v_2$ , a w ciągu drugiej połowy tego czasu szedł pieszo z szybkością $\fs2 v_3$ . Obliczyć szybkość średnią rowerzysty w tej podróży.

Rozwiązanie:
Należy nieco poszerzyć wzór na szybkość średnią $\fs2 \langle v\rangle =\frac{v_1t_2+v_2t_2+v_3t_3}{t_1+t_2+t_3}$ . Niech całą drogą pokonaną przez rowerzystę będzie $\fs2 S$ . Wiadomo, że $\fs2 t_1=\frac{S}{2v_1}$ i $\fs2t_3=t_2\;\Longrightarrow\; t_2+t_3=2t_2$ , a także $\fs2 v_2t_2+v_3t_3=t_2(v_2+v_3)=\frac{S}{2}\;\Longrightarrow\; 2t_2=\frac{S}{v_2+v_3}$ . Widać, że mianownik wzoru na szybkość średnią to po prostu $\fs2 S$ .
$\fs2 t_1+t_2+t_3=\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{v_2+v_3}=S\left(\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{v_1+v_2}\right)=S\cdot \frac{v_2+v_3+2v_1}{2v_1(v_1+v_2)}$ , zatem

$\langle v\rangle=\frac{S}{S\cdot \frac{v_2+v_3+2v_1}{2v_1(v_1+v_2)}}=\frac{2v_1(v_2+v_3)}{2v_1+v_2+v_3}$

Przykład 5
Pociąg jedzie z praktycznie stałą prędkością $\fs2 v_1=60\text{ km/h}$ , najpierw dokładnie na wschód przez $\fs2 t_1=40 \text{ min}$ , następnie w kierunku północno-wschodnim pod kątem $\fs2 45^{\circ}$ do poprzedniego przez $\fs2 t_2=20\text{ min}$ , i w końcu na zachód przez $\fs2 t_3=50 \text{ min}$ . Jaka jest średnia prędkość pociągu w czasie tego ruchu?

Rozwiązanie:
Żeby podać średnią prędkość należy podać jej wartość i kierunek, co można zrobić np. poprzez wyznaczenie kąta jaki tworzy szukany wektor z wybranym kierunkiem. Wybierzmy w tym celu układ współrzędnych tak, że kierunek wschodni pokrywa się z osią x a kierunek północny z osią y. Ponadto, niech początek naszego układu znajduje się w miejscu startu.
Rozbijmy nasze przemieszczenie na przemieszczenia w pionie i poziomie. Wówczas łatwo znajdziemy kąt jaki tworzy wektor prędkości średniej z osią x: $\fs2 \tan\alpha=y/x$ . Policzę teraz przemieszczenia pociągu w kolejnych przedziałach czasu (patrz treść zadania). $\fs2 \mathbf{\vec r}=[x,y]=\mathbf{\vec r}_1+\mathbf{\vec r}_2+\mathbf{\vec r}_3\;\Leftrightarrow \; \begin{cases}x=40\text{(km/h)}\cdot \frac23 \text{(h)}+40\text{(km/h)}\cos45^{\circ}\cdot \frac13 \text{(h)}-40\text{(km/h)}\cdot \frac56 \text{(h)}=2,76\text{ km} \\ y=40\text{(km/h)}\cdot\sin45^{\circ}\cdot\frac12 \text{(h)}=9,43\text{ km}\end{cases}$ .
Zatem wartość przemieszczenia pociągu wynosi $\fs2 r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2,76^2+9,43^2}\text{ km}=9,82\text{ km}$ . Tym samym wartość prędkości średniej i kąt $\fs2 \alpha$ są równe

$\begin{array}{rcl} |\langle\mathbf{\vec v}\rangle| & = & \frac{r}{t_1+t_2+t_3}=\frac{9,83\text{(km)}}{\frac{4+2+5}{6}\text{(h)}}=5,36\text{ km/h} \\ \tan\alpha & = & 9,82/2,76= 3,56\;\Leftrightarrow \;\alpha=74^{\circ}20^\prim \end{array}$ .

§ 3. Szybkość średnia w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Załóżmy, że znamy szybkość ciała w chwili $\fs2 t_1$ , tj. $\fs2 v(t_1)$ . Wówczas równania ruchu jednostajnie przyspieszonego wyglądają następująco

$\begin{cases}v(t)=v(t_1)+a(t-t_1) \\ s(t)=v(t_1)(t-t_1)+\frac{a(t-t_1)^2}{2}\end{cases}$

Chcemy znaleźć szybkość średnią ciała w przedziale czasu $\fs2 [t_1;t_2]$ . Widać, że $\fs2 s(t_1)=0$ natomiast $\fs2 s(t_2)=v(t_1)(t_2-t_1)+\frac12 a(t_2-t_1)^2$ i $\fs2 v(t_2)=v(t_1)+a(t_2-t_1)$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1} & = & \frac{v(t_1)(t_2-t_1)}{t_2-t_1}+\frac{a(t_2-t_1)^2}{2(t_2-t_1)} \\ & = & \frac{2v(t_1)+a(t_2-t_1)}{2} \\ & = & \frac{2v(t_1) + v(t_2) -v(t_1)}{2} \\ \langle v\rangle & = & \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2} \end{array}$

Można zatem powiedzieć, że szybkość średnia w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest średnią arytmetyczną szybkości końcowej i początkowej.

§ 4. Bibliografia i literatura uzupełniająca

1. John R. Taylor, Mechanika klasyczna, t. 1, Warszawa 2006.
Książki pisane przez amerykańskich uczonych prezentują kunszt dydaktycznej precyzji. Choć podręcznik powstał z notatek do wykładu z mechaniki teoretycznej, to osoby po rocznym kursie analizy matematycznej i algebry mogą bez przeszkód korzystać z dobrodziejstw książki. A są nimi spora liczba wspaniale dobranych i napisanych zadań, których rozwiązanie jest kluczem do zrozumienia prezentowanej teorii i uzyskania sprawności rachunkowej. Rzadko spotyka się książki napisane w ten sposób i w dodatku tak precyzyjnie. Z tej książki pochodzi większość zadań prezentowanych w fizycznym kompendium.
2. Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski, Mechanika teoretyczna, Warszawa 1995.
Jest to piękny wykład poświęcony metodom matematycznym w mechanice. Uczeń z bardzo solidnym przygotowaniem matematycznym (podstawy analizy matematycznej i algebry liniowej, geometria analityczna i czasem różniczkowa, analiza wektorowa, równania różniczkowe) jest w stanie spokojnie czytać tę książkę. Dla matematyków jest więc to pozycja idealna, opatrzona dodatkowo wieloma ciekawymi zadaniami. Niestety w większości zbyt trudnymi aby je tutaj prezentować.
3. David Halliday, Robert Resnick, FIZYKA dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych, t. 1, Warszawa 1975.
No cóż, jest to chyba najsolidniejszy i ponadczasowy wykład z fizyki ogólnej jaki kiedykolwiek istniał. Przygotowany w najlepszym możliwym stopniu dla studentów. Niezbędny aparat matematyczny jest prezentowany równolegle do wprowadzanych pojęć fizycznych. Duża liczba zadań i problemów czyni lekturę podręcznika obowiązkową dla wszystkich zainteresowanych fizyką jak i pragnących przebrnąć ten przedmiot jak najszybciej.
4. Jay Orear, Fizyka, t. 1, Warszawa 2004.
Znów podręcznik napisany przez Amerykanina. Złośliwi pewnie powiedzą, że uczeni z USA muszą dostosowywać swój wykład do słuchaczy. Według mnie tak powinno być wszędzie i któż by się obraził gdyby i Polacy pisali równie zrozumiale? Fizyka Orear'a to idealny podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych - niezbyt długi a bogaty w treść, liczne przykłady i zadania. Autor używa wielu pojęć analizy matematycznej, ale nie zagłębia się w nie przesadnie.
5. Jędrzej Jędrzejewski, Witold Kruczek, Adam Kujawski, Zbiór zadań z fizyki, t. 1 i t. 2 , Warszawa 1973, 1993.
Bardzo solidny zbiór zadań z fizyki licealnej. Nadal aktualny choć jego pierwsze wydanie pojawiło się już w ubiegłym wieku. Tom 1. zawiera sporą liczbę zadań z różnych działów. W tomie 2. natomiast zostały podane odpowiedzi do wszystkich zadań, a do tych trudniejszych dodatkowo podpowiedzi i rozwiązania. Bardzo wartościowy zestaw. Można się sporo nauczyć.
6. Sławomir Brzezowski, MECHANIKA nie tylko dla licealistów, Warszawa 1999.
Jest to pozycja przeznaczona głównie dla uczniów zainteresowanych udziałem w Olimpiadzie i konkursach fizycznych. Materiał tam prezentowany jest rozszerzeniem tego poznanego w szkołach gimnazjalnych o niezbędne narzędzia matematyczne. Znajdują się tam nieprzeciętne zadania wraz z rozwiązaniami jak i problemy zmuszające do samodzielnej pracy.

Kolorem niebieskim została zaznaczona literatura akademicka.

komentuj publikację