[MECHANIKA KLASYCZNA] Rodzaje energii mechanicznej, praca, moc :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[MECHANIKA KLASYCZNA] Pęd mechaniczny, zderzenia i zasada zachowania pędu

[MECHANIKA KLASYCZNA] Wyprowadzenie wzorów i zależności

[MECHANIKA KLASYCZNA] Prędkość i szybkość średnia

List- przykładowe zdania

Tożsamość płciowa, a zachowania agresywne młodzieży.

[MECHANIKA KLASYCZNA] Pojęcie siły tarcia

Energia mechaniczna, praca, zasada zachowania energii, moc

Wszystkie zasady zachowania są bardzo użyteczne i pomocne z zrozumieniu wielu problemów. Zasada zachowania energii jest potężnym narzędziem ułatwiającym rozwiązać wiele problemów fizycznych. Jej zaletą jest to, że układ fizyczny opisywany jest za pomocą wielkości skalarnych (energie są skalarami), co powoduje, że równania upraszczają się do równań algebraicznych. Prawdopodobnie właśnie to docenił Lagrange, który wymyślił swój własny formalizm (podobnie jak Hamilton). Nie mamy do czynienia z wektorami, dlatego zamiast trudzić się z definicjami kinematycznymi można spokojnie zapisać bilans energetyczny, a ułożone równania dają niemal od razu rozwiązania. Taki przykład pokazałem w temacie [MECHANIKA KLASYCZNA] Pojęcie siły tarcia.

§ 1. Praca

1.1. Definicja
Praca jest iloczynem skalarnym działającej siły i wektora przesunięcia $\fs2 \vec r$ stycznego cały czas to toru ruchu (krzywej po jakiej porusza się ciało).

$\fs2 \vec F=\vec{\text{const.}}$

$W\;:\!\!=\;\vec F\cdot\Delta\vec r$

$\fs2 \vec F\neq \vec{\text{const.}}$

$W\;:\!\!=\;\sum_i \vec F_i\cdot \Delta\vec r_i$

Dla dowolnej siły - ogólna definicja (szkoła wyższa)

$W(1\to 2)\;:\!\!=\;\int^{2}_{1}\vec F\cdot\text{d}\vec r$

Całka występująca w ostatnim wzorze jest tzw. całką krzywoliniową. Całość symbolizuje pracę wykonaną po dowolnej krzywej od punktu 1 do punktu 2.

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul $\left[\text{N}\cdot \text{m}=\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot \text{m}=\text{J}\right]$ .

Inne powszechnie i dawniej wykorzystywane jednostki pracy i energii:

erg (jednostka energii w układzie jednostek Gaussa - CGS) $1\text{J}=10^7\text{erg}$
elektronowolt $1\text{eV}=1,6\cdot 10^{-19}{\text{J}}$
kilokaloria $1\text{kcal}=4180\text{J}$

§ 2. Energia kinetyczna

2.1. Definicja energii kinetycznej
Energia kinetyczna jak sama nazwa wskazuje związana jest z poruszającym się ciałem. Energia ta jest zdefiniowana następująco:

$E^{\text{kin}}\;:\!\!=\;\frac{mv^2}{2}$

Jeśli całość pomnożymy przez $\fs2 m/m$ i skorzystamy z definicji pędu: $\fs2 \vec p=m\vec v$ to otrzymamy związek

$E^{\text{kin}}=\frac{p^2}{2m}$

2.2. Wyprowadzenie twierdzenia o pracy i energii kinetycznej (tw. P-EK)
Znajdźmy pracę siły wypadkowej działającej na ciało. Załóżmy, że siła ta jest stała. Ciało zatem porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym (lub opóźnionym). Niech $\fs2 \mathcal{W}\equiv W_{F_{\text{wyp}}}$

$\mathcal{W}=m\vec a\cdot\Delta\vec r$

Skorzystamy z tego, że $\fs2 \angle\left(\vec a,\Delta \vec r\right)=0\;\;\Rightarrow\;\; \cos 0=1$ oraz wykorzystamy wzór $\fs2 \Delta r=\frac{ v_k^2- v_o^2}{2a}$ . Wówczas

$\mathcal{W}=ma\frac{v_k^2-v_o^2}{2a}\;\; \Leftrightarrow\;\;\mathcal{W}=\frac{mv_k^2}{2}-\frac{mv_o^2}{2}$

Twierdzenie o pracy i energii kinetycznej

$\mathcal{W}=E^{\text{kin}}_{2}-E^{\text{kin}}_{1}$

§ 3. Pole sił zachowawczych

Na wstępie zaznaczę, że siły zachowawcze (konserwatywne) nie są tym samym co siły potencjalne. Powiedziałbym, że siły zachowawcze są szczególnym przypadkiem sił potencjalnych, co wyniknie z poniższych definicji.

3.1. Definicja siły zachowawczej
Siła zachowawcza to siła, dla której można określić energię potencjalną.

Energia potencjalna z kolei jest szczególnym przypadkiem potencjału $V=V(\vec r,t)$ , gdyż jest funkcją, która nie jest w sposób jawny zależna od czasu. Gdyby tak było, byłaby potencjałem. Zatem i siła potencjalna jest szczególnym przypadkiem siły konserwatywnej.

3.2. Warunki jakie musi spełniać siła, by była siłą zachowawczą
Siła działająca na cząstkę jest zachowawcza wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia dwa warunki:

$\fs2 \vec F$ zależy jedynie od położenia cząstki $\fs2\vec r$ (nie zależy od innych zmiennych - prędkości, czasu i innych) $\fs2\Longleftrightarrow\;\;\vec F=\vec F(\vec r)$ .
Praca $\fs2 W(1\to 2)$ jaką siła $\fs2\vec F$ wykonuje wzdłuż krzywej łączącej punkty 1 i 2 nie zależy od wyboru krzywej

.
Dlatego na przykład siła Lorentza nie jest potencjalna. Zależy ona od prędkości, zatem dla pola magnetycznego nie można zdefiniować energii potencjalnej.

§ 4. Energia potencjalna

4.1. Definicja energii potencjalnej (szkoła wyższa)
Wybierzmy dowolny punkt $\fs2\vec r_o$ , w którym $\fs2 E^{\text{pot}}(\vec r_o)=0$ . Energię potencjalną definiujemy jako:

$E^{\text{pot}}(\vec r)\;:\!\!=\;-W(\vec r_o\to\vec r)\equiv -\int^{\vec r}_{\vec r_o}\vec F(\vec r)\cdot\text{d}\vec r$

Nam wystarczy wiedzieć jakimi wzorami wyrażają się energie potencjalne dla poszczególnych sił zachowawczych. Na szczęście dla większości podstawowych sił można wskazać energię potencjalną.

Niech energia potencjalna w punkcie $\fs2 \vec r_o$ wynosi zero.

Z rysunku wynika, że

$W(\vec r_o\to \vec r_2)=W(\vec r_o\to\vec r_1)+W(\vec r_1\to \vec r_2) \\ W(\vec r_1\to \vec r_2)=W(\vec r_o\to \vec r_2)-W(\vec r_o\to \vec r_1)=-\left(E^{\text{pot}}(\vec r_2 )-E^{\text{pot}}(\vec r_1)\right)=-\Delta U$

Związek pracy siły zachowawczej z energia potencjalną

$W^{\text{zach}}=-\left(E^{\text{pot}}_{2}-E^{\text{pot}}_{1}\right)$

Zapiszmy teraz zasadę zachowania energii mechanicznej:

Zasada zachowania energii dla jednej cząstki Jeśli na ciało działa

sił $\vec F_i$ (i=1,2,3,...,n), które są zachowawcze i z każdą z nich związana jest energia potencjalna $E^{\text{pot}}(\vec r)$ , to całkowita energia mechaniczna, zdefiniowana jako

$E\,:= E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}=E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}_{1}(\vec r)+\cdots +E^{\text{pot}}_n(\vec r)$

nie zależy od czasu.

Przypomnimy teraz wzór na pracę siły wypadkowej. Jest oczywiste, że siła wypadkowa działająca na ciało może składać się zarówno z sił zachowawczych jak i niezachowawczych, zatem:

$\mathcal{W}=W^{\text{zach}}+W^{\text{nzach}}$

Wykorzystujemy poznane związki i otrzymujemy:

$\Delta E^{\text{kin}}=-\Delta E^{\text{pot}}+W^{\text{nzach}}$
$\Delta \left(E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}\right)=W^{\text{nzach}}$

Jeśli siły niezachowawcze nie wykonują pracy to otrzymujemy bardzo użyteczny związek:

Użyteczny związek dla wszystkich rodzajów sił

$\Delta \left(E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}\right)=0\;\Longleftrightarrow \; E^{\text{kin}}+E^{\text{pot}}=\text{const.}$

§ 5. Sprawność

5.1. Definicja
Sprawność to stosunek energii otrzymanej od układu do energii dostarczonej. Sprawność może być podawana jako zwykła liczba lub za pomocą procentów.

$\eta\;:\!\!=\;\frac{E^{\text{otrz}}}{E^{\text{dost}}}\;\;\Longleftrightarrow\;\;(\percent)\eta\;:\!\!=\;\frac{E^{\text{otrz}}}{E^{\text{dost}}}\cdot 100\percent$

§ 6. Moc

6.1. Definicja mocy
Moc nazywana także szybkością wykonywanej pracy jest stosunkiem pracy do przedziału czasu w jakim ta praca została wykonana.

Moc na ogół zapisuje się wzorem

$P\;:\!\!=\;\frac{W}{\Delta t}$

lub, jeśli zachodzi potrzeba, ściślej (szkoła wyższa)

$P\;:\!\!=\;\dot{W}\equiv \frac{\text{d}W}{\text{d}t}$

Jednostką mocy w układzie SI jest wat $\left[\text{\frac{\text{J}}{\text{s}}}=\text{W}\right]$ .
Istnieją też inne jednostki mocy

kilowatogodzina $1\text{kWh}=3,6\cdot 10^6\text{J}$
koń mechaniczny $1\text{KM}=746\text{J}$

Przykład 1 - Diabelska pętla
Na rysunku dana jest diabelska pętla. Jej główna część jest okręgiem o promieniu $\fs2 R$ . Z jakiej wysokości należy wypuścić ciało, aby bezpiecznie przejechało przez pętlę? Wszelkie opory ruchu pominąć.

Rozwiązanie:
Zapiszmy zasadę zachowania energii: $\fs2 \Delta E^{\text{kin}}=-\Delta E^{\text{pot}}$ .Rozpatrzmy (jak to zaznaczyłem na rysunku) sytuację początkową - ciało znajduje sie nieruchomo ma wysokości

nad powierzchnią Ziemi, którą po cichu uznałem za poziom zerowy energii potencjalnej, i końcową - ciało znajduje sie w najwyższym punkcie okręgu; ma wtedy zarówno energię kinetyczną jak i potencjalną.

$\Delta E^{\text{kin}}=\frac{mv^2}{2}-0=\frac{mv^2}{2}$
$\mathrm{-} \Delta E^{\text{pot}}=-(mg\cdot 2R-mgh)=-2mgR+mgh$

Zatem zasada zachowania energii ma postać:

$mgh=\frac{mv^2}{2}+2mgR$

Teraz należy się zastanowić jaki warunek ma spełniać szybkość, aby ciało spokojnie przeleciało przez pętlę. Zróbmy to w układzie nieinercjalnym. Aby ciało nie spadało siła odśrodkowa musi równoważyć siłę ciężkości: $\fs2 mg=\frac{mv^2}{R}\Rightarrow mv^2=mgR$ i wstawiając to do równania zasady zachowania energii: $\fs2 mgh=\frac{mgR}{2}+2mgR$ otrzymujemy $\fs2 mgh=\frac{5}{2}mgR \;\Rightarrow\;\fbox{h=\frac{5}{2}R}$ .

Przykład 2
Ciała porusza się po półkuli jak pokazuje rysunek. Jego początkowe położenie to $\fs2 \vec{r}_o=[0,R]$ . Na jakiej wysokości ciało oderwie się od półkuli? Pominąć wszelkie opory ruchu.

Rozwiązanie:
Najpierw należy zbadać warunek przy jakim ciało oderwie się od półkuli. Warunek jest prosty: siła reakcji od półkuli musi być równa zeru. Wtedy i siła nacisku na półkulę będzie równa zeru, zatem ciało oderwie się od półkuli.
Składowa prostopadła do powierzchni półkuli $\fs2 N$ pomniejszona o siłę reakcji $\fs2 \mathcal{R}$ stanowi siłę dośrodkową dla zsuwającego się ciała (oczywiście do momentu oderwania się ciała).

$\frac{mv^2}{R}=N-\mathcal{R}$

Z rysunku łatwo zauważyć wypatrzyć, że $\fs2 N=Q\cos\alpha$ . Skoro $\fs2 \mathcal{R}=0\;\;\Rightarrow\;\;\frac{v^2}{R}=g\cos\alpha$ .
Zapiszmy teraz zasadę zachowania energii. Od razu przejdę do równania, nie bawiąc się w oczywiste wyznaczanie zmian poszczególnych rodzajów energii - jak robiłem to w poprzednim przykładzie.

$mgR=\frac{mv^2}{2}+mgh\;\Rightarrow\;h=R-\frac{v^2}{2g}$

Trzeba wyznaczyć prędkość, ale najpierw warto zapisać $\fs2 \cos\alpha=\frac{h}{R}$ oraz $\fs2 \frac{v^2}{g}=R\cos\alpha=h$ , czyli $\fs2 h=R-\frac{h}{2}\;\Rightarrow\;\fbox{h=\frac{2}{3}R}$

Bibliografia i literatura uzupełniająca:
1. D. Halliday, R. Resnick, (Walker), Podstawy fizyki, t. 1 (t. 1), PWN.
2. J. R. Taylor, Mechanika klasyczna, t.1, PWN.
3. W. Rubinowicz, W. Królikowski, Mechanika teoretyczna, PWN.
4. Jay Orear, Fizyka, t. 1, WTN.
5. Praca zbiorowa, Fizyka - zakres podstawowy, ZamKor.
6. Praca zbiorowa, Fizyka - treści rozszerzające, cz. 1, ZamKor.
7. W. Kruczek, J. Jędrzejewski, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki, t. 1 i t. 2, PWN.
8. S. Brzezowski, Mechanika nie tylko dla licealistów, Oficyna Edukacyjna.

Kolorem niebieskim zaznaczona jest literatura akademicka.

komentuj publikację