[MECHANIKA KLASYCZNA] Transformacja Galileusza :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[MECHANIKA KLASYCZNA] Prędkość i szybkość średnia

[MECHANIKA KLASYCZNA] Zasady dynamiki Newtona

[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy prostoliniowe

[MECHANIKA KLASYCZNA] Pęd mechaniczny, zderzenia i zasada zachowania pędu

[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy krzywoliniowe

[MECHANIKA KLASYCZNA] Wyprowadzenie wzorów i zależności

Transformacja Galileusza

Transformacja lub inaczej przekształcenie Galileusza jest to przekształcenie wiążące położenie pewnego punktu P w dwóch układach inercjalnych S oraz S'. Czytelnik powinien posiadać podstawowe wiadomości o działaniach na wektorach. Można je znaleźć w [GEOMETRIA] Działania na wektorach.

§ 1. Układ inercjalny

Układ inercjalny to taki układ, w którym wszystkie prawa fizyczne występują w "standardowej" postaci. Układ taki pozostaje w spoczynku bądź porusza się postępowym ruchem jednostajnym prostoliniowym (bez obrotów) gdy nie działają nań żadne siły zewnętrzne. Układ ten nazywa się układem inercjalnym gdyż obowiązuje w nim I zasada dynamiki - zasada bezwładności; (inercja znaczy m. in. bezwładność). Każdy układ poruszający się postępowym ruchem jednostajnym prostoliniowym (bez obrotów) względem układu inercjalnego jest także układem inercjalnym. Pogrubioną część można traktować jako twierdzenie, które zostanie wkrótce dowiedzione.

§ 2. Matematyczna postać transformacji Galileusza

Z zamieszczonego rysunku widać, że $\fs2 \mathbf{\vec{r}}+(-\mathbf{\vec{r}}^\prim)=\mathbf{\vec{r}}_0$ . Załóżmy, że układ S' porusza się ze stałą prędkością translacyjną $\fs2 \vec u$ względem układu nieruchomego jakim jest układ inercjalny S.
Rozpatrzmy ruch początku układu współrzędnych S' względem początku układu S w przedziale czasu $\fs2 [0;t]$ . Można wykazać (porównaj to równanie z r-niem ruchu jednostajnego prostoliniowego [MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy prostoliniowe), że

$\mathbf{\vec{r}}_0=\mathbf{\vec{r}}_0(0)+\mathbf{\vec{u}}t$

Podstawmy $\fs2 \mathbf{\vec{r}}+(-\mathbf{\vec{r}}^\prim)=\mathbf{\vec{r}}_0$

$\mathbf{\vec r} ^\prim=\mathbf{\vec r}-\mathbf{\vec{r}}_0(0)-\mathbf{\vec u}t$

Jeśli założymy, że w chwili $\fs2 t=0$ początki układów pokrywały się, tj. $\fs2 \mathbf{\vec{r}}_0(0)=\mathbf{\vec 0}$ , to otrzymamy

Matematyczna postać transformacji Galileusza

$\mathbf{\vec{r}}^\prim=\mathbf{\vec{r}}-\mathbf{\vec{u}t\;\;\Longleftrightarrow\;\; \begin{cases}x^\prim=x-u_xt \\ y^\prim=y-u_yt \\ z^\prim=z-u_zt\end{cases}$

§ 3. Konsekwencje wynikające z transformacji Galileusza

Przepiszmy transformację Galileusza w następującej postaci

$\mathbf{\vec{r}}=\mathbf{\vec{r}}^\prim +\mathbf{\vec u}t$

Jeśli rozpatrzymy nasze układy po czasie $\fs2 T$ to $\fs2 \mathbf{\vec{r}}$ i $\fs2 \mathbf{\vec{r}}^\prim$ zmienią się do odpowiednio $\fs2 \Delta\mathbf{\vec{r}}$ i $\fs2 \Delta\mathbf{\vec{r}}^\prim$ , zatem po tym czasie nasza transformacja będzie postaci

$\Delta\mathbf{\vec{r}}=\Delta\mathbf{\vec{r}}^\prim+\mathbf{\vec{u}}\Delta t$

Po podzieleniu przez $\fs2 \Delta t$ otrzymamy

Klasyczne prawo składania prędkości

$\mathbf{\vec{\mathcal{V}}}=\mathbf{\vec{\mathcal{V}}}^\prim+ \mathbf{\vec u}$

$\fs2 \mathbf{\vec{\mathcal{V}}}$ - prędkość punktu P w układzie S,
$\fs2 \mathbf{\vec{\mathcal{V}}}^\prim$ - prędkość punktu P w układzie S',
$\fs2 \mathbf{\vec u}$ - prędkość układu S' względem S - tzw. prędkość unoszenia.

Przypomnijmy nasze założenie: $\fs2 \mathbf{\vec{v}}=\mathbf{\vec{\mbox{const}}}\;\wedge\; \mathbf{\vec\omega}=\vec 0$ , i sprawdźmy co z niego wynika. Rozpatrzmy ponownie układy po czasie $\fs2 T^\prim$ . Prędkości $\fs2 \mathbf{\vec{\mathcal{V}}}$ i $\fs2 \mathbf{\vec{\mathcal{V}}}^\prim$ zmieniły się do odpowiednio $\fs2 \Delta\mathbf{\vec{\mathcal{V}}}$ i $\fs2 \Delta\mathbf{\vec{\mathcal{V}}}^\prim$ natomiast $\fs2 \Delta \mathbf{\vec u}=\mathbf{\vec 0}$ . Zatem nasze klasyczne prawo składania prędkości wygląda następująco

$\Delta\mathbf{\vec{\mathcal{V}}}=\Delta\mathbf{\vec{\mathcal{V}}}^\prim+\mathbf{\vec 0}$

Tak jak ostatnio, po podzieleniu przez $\fs2 \Delta t$ mamy, że

$\mathbf{\vec{\mathcal{A}}}=\mathbf{\vec{\mathcal{A}}}^\prim$

$\fs2 \mathbf{\vec{\mathcal{A}}}$ - to przyspieszenie punktu P w układzie S,
$\fs2 \mathbf{\vec{\mathcal{A}}}^\prim$ - to przyspieszenie punktu P w układzie S'.
Co na podstawie 2. zasady dynamiki możemy wyrazić jako

Niezmienność praw fizycznych względem układów inercjalnych

$\mathbf{\vec F}=\mathbf{\vec F}^\prim$

Zatem układ poruszający się ze stałą prędkością translacyjną po linii prostej względem układu inercjalnego także jest układem inercjalnym, gdyż wszystkie prawa pozostają w nim w "standardowej" postaci. Zatem pogrubione wyżej twierdzenie zostało dowiedzione.

Przykład 1 - zadanie maturalne
Przeprawa promowa ludzi i samochodów odbywa się na rzece o szerokości $\fs2 d=450\text{m}$ . Prędkość własna promu wynosi $\fs2 v_1=2,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$ i jest skierowana prostopadle do brzegu rzeki. Prędkość nurtu rzeki wynosi $\fs2 v_2=0,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$ . Oblicz prędkość promu względem brzegu rzeki oraz czas, jaki zajmie mu jej przepłynięcie.

Rozwiązanie:
Z punktu widzenia obserwatora będącego na brzegu rzeki prędkość w jego układzie to $\fs2 \vec{\mathcal{V}}=\vec{v_1}+\vec{v_2}$ a wartość tej prędkości można policzyć z twierdzenia Pitagorasa $\fs2 |\mathcal V|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{2,6^2\text{m^2/s^2\text}+0,5^2\text{m^2/s^2}}\approx \fbox{2,55\text{m/s}}$ .
Składowa prędkości nurtu rzeki nie wpływa na długość przepływu promu. Czas zależy od prędkości własnej promu, zatem $\fs2 t=\frac{d}{v_1}=\frac{450\text{m}}{2,5\text{m/s}}=\fbox{180\text{s}=3 \text{min}}$ .

Przykład 2 - zadanie maturalne
Kajakarz przepływa rzekę o szerokości $\fs2 d=91\text{m}$ po najkrótszej drodze w ciągu $\fs2 t=26\text{s}$ . Prędkość prądu rzeki $\fs2 v_{\mbox{rz}}=1,5\text{\frac{m}{s}}$ .
a) oblicz tangens kąta pod jakim należy ustawić oś kajak do brzegu rzeki, aby przepłynął ją po najkrótszej drodze.
b) Oblicz wartość prędkości $v_{\mbox{k}}$ jaką kajakowi nadaje wioślarz.

Rozwiązanie:
Najkrótsza droga w tym wypadku to linia prostopadła do brzegów rzeki. Rzeczą naturalną jest, że wioślarz musi płynąć pod pewnym kątem przeciwnie do kierunku nurtu rzeki, aby utrzymać kierunek prostopadły. Biorąc pod uwagę dwie pierwsze dane można obliczyć składową prędkości prostopadłą do brzegów rzeki $\fs2 v_{\perp}=\frac{d}{t}$ . Tangens kąta $\fs2 \text{tg}\alpha=\frac{v_{\perp}}{v_{\mbox{rz}}}=\frac{d}{v_{\mbox{rz}}t}=\frac{91\text{m}}{1,5\text{m/s}\cdot 26\text{s}}=\fbox{2,33}$ . Wartość prędkości wioślarza to $\fs2 |v_{\mbox{k}}|=\sqrt{v_{\mbox{rz}}^2+v_{\perp}^2}=\sqrt{v_{\mbox{rz}}^2+d^2/t^2}=\sqrt{1,5^2\text{m^2/s^2}+91^2/26^2\cdot \text{m^2/s^2}}\approx \fbox{3,8\text{m/s}}$

Dodatek
Transformacja Galileusza metodą różniczkowania.
Wychodzimy z tego samego równania wiążącego położenie punktu P w dwóch układach inercjalnych

$\mathbf{\vec{r}}+(-\mathbf{\vec{r}}^\prim)=\mathbf{\vec{r}}_0$

Przepiszmy to tak jak poprzednio $\fs2 \mathbf{\vec{r}}=\mathbf{\vec{r}}^\prim +\mathbf{\vec u}t$ . Teraz wystarczy dwa razy zróżniczkować całość po czasie

Klasyczne prawo składania prędkości

$\mathbf{\vec v}=\mathbf{\vec v}^{\prim}+\mathbf{\vec u}$

Jeszcze jedno różniczkowanie i po pomnożeniu obustronnym przez masę bezwładną

$\mathbf{\vec F}=\mathbf{\vec F^{\prim}}$

Czyli to co wcześniej - niezmienność praw fizycznych w układach poruszających względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Bibliografia i literatura uzupełniająca:
1. D. Halliday, R. Resnick, (J. Walker), Fizyka (Podstawy fizyki), PWN.
2. J. R. Taylor, Mechanika klasyczna, t. 2, PWN.
3. W. Rubinowicz, W. Królikowski, Mechanika teoretyczna, wyd. PWN.
4. Praca zbiorowa, Fizyka - zakres podstawowy, ZamKor.
5. W. Kruczek, J. Jędrzejewski, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki, t. 1 i t. 2, WTN.
6. S. Brzezowski, MECHANIKA nie tylko dla licealistów, wyd. Oficyna Edukacyjna.

Kolorem niebieskim zaznaczona jest literatura akademicka.

Krzysztof Pawlaczek

komentuj publikację