[MECHANIKA KLASYCZNA] Wyprowadzenie wzorów i zależności :: Kompendium / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

[F.liniowa] Równanie kierunkowe, równanie ogólne

[MECHANIKA KLASYCZNA] Zasady dynamiki Newtona

[F. kwadratowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

[F.wielomianowa] Rozwiązywanie równań i nierówności

[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy prostoliniowe

Wyprowadzenie wzorów i zależności

Temat ten stanowi uzupełnienie, do wszystkich tematów oznaczonych tagiem [MECHANIKA KLASYCZNA]. Wątek został wyodrębniony m.in. po to, aby nie zakłócał toku kompendium. Kolejnym powodem, dla którego stanowi on odrębną całość, jest jedna z głównych cech każdego kompendium - zwięzłość i czytelność.

[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy prostoliniowe

1. Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego
Operujmy wartościami, zatem $\fs2 |\Delta \mathbf{\vec x}|=\Delta x$ . Ponadto $\fs2 |\mathbf{\vec a}|=a_x$ . Rozpatrzmy ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy od czasu $\fs2 t_o$ do wyłączenia stoperów ( $\fs2 t_o+\Delta t$ ), czyli $\fs2 \mathbf{\vec v}(t_o)=v_{xo}\mathbf{\hat x}$ i $\fs2 \mathbf{\vec v}(t_o+\Delta t)=v_x\mathbf{\hat x}$ . Otrzymujemy układ równań, w którym wyeliminujemy:
• czas

$\begin{cases}v_x-v_{xo}=a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t+\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\cdot \frac{v_x-v_{xo}}{a_x}+\frac12 a_x\cdot \frac{(v_x-v_{xo})^2}{a_x^2}\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}v_x-2v_{xo}^2}{2a_x}+\frac{ v_x^2+v_{xo}^2-2v_xv_{xo}}{2a_x}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta x=\frac{v_x^2-v_{xo}^2}{2a_x}\end{cases}}$

• przyspieszenie

$\begin{cases}v_x-v_{xo}=a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t+\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_x-v_{xo})=a_x \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t+\frac12 \cdot \frac{(v_x-v_{xo})\Delta t^2}{\Delta t}\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_x-v_{xo})=a_x \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}\Delta t}{2}+\frac{ v_x\Delta t-v_{xo}\Delta t}{2}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_x-v_{xo})=a_x \\ \Delta x=\frac{v_x+v_{xo}}{2}\cdot \Delta t \end{cases}}$

2. Równania ruchu jednostajnie opóźnionego prostoliniowego
Operujmy wartościami, zatem $\fs2 |\Delta \mathbf{\vec x}|=\Delta x$ . Ponadto $\fs2 |\mathbf{\vec a}|=-a_x$ . Rozpatrzmy ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy od czasu $\fs2 t_o$ do wyłączenia stoperów ( $\fs2 t_o+\Delta t$ ), czyli $\fs2 \mathbf{\vec v}(t_o)=v_{xo}\mathbf{\hat x}$ i $\fs2 \mathbf{\vec v}(t_o+\Delta t)=v_x\mathbf{\hat x}$ . Otrzymujemy układ równań, w którym wyeliminujemy:
• czas

$\begin{cases}v_x-v_{xo}=-a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t-\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_{xo}-v_{x})=\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\cdot \frac{v_{xo}-v_{x}}{a_x}-\frac12 a_x\cdot \frac{(v_{xo-}v_{x})^2}{a_x^2}\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_{xo}-v_{x})=\Delta t \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}^2-2v_{xo}v_x}{2a_x}-\frac{ v_x^2+v_{xo}^2-2v_xv_{xo}}{2a_x}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{a_x}(v_{xo}-v_{x})=\Delta t \\ \Delta x=\frac{v_{xo}^2-v_{x}^2}{2a_x}\end{cases}}$

• przyspieszenie

$\begin{cases}v_x-v_{xo}=-a_x\Delta t \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t-\frac{a_x\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_{xo}-v_{x})=a_x \\ \Delta x=v_{xo}\Delta t-\frac12 \cdot \frac{(v_{xo}-v_{x})\Delta t^2}{\Delta t}\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_{xo}-v_{x})=a_x \\ \Delta x= \frac{2v_{xo}\Delta t}{2}-\frac{ v_{xo}\Delta t-v_{x}\Delta t}{2}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(v_{xo}-v_{x})=a_x \\ \Delta x=\frac{v_{xo}+v_{x}}{2}\cdot \Delta t \end{cases}}$

3. Wyprowadzenie równań ruchu z zasad dynamiki Newtona.
Rozpatrzmy przypadki:
1) $\fs2 \sum \mathbf{\vec F}_i=\mathbf{\vec 0}$ .
2) $\fs2 \sum \mathbf{\vec F}_i=\mathbf{\vec F}_o=\mathbf{\vec {\text{const.}}}$
Równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

$m\frac{\text{d}\mathbf{\vec v}}{\text{d}t}=\sum\mathbf{\vec F}_i \;\Longleftrightarrow\;\text{d}\mathbf{\vec{v}}=\frac{\sum\mathbf{\vec F}_i}{m}\text{d}t$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\mathbf{\vec v}=\frac{\sum\mathbf{\vec F}_i}{m}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\; \mathbf{\vec{v}}(t)-\mathbf{\vec{v}}(t_o)=\frac{\sum\mathbf{\vec F}_i}{m}(t-t_o)$

Jako, że $\fs2 \sum\mathbf{\vec F}_i=\mathbf{\vec 0}$ to można zapisać

$\mathbf{\vec v}(t)=\mathbf{\vec v}(t_o)\;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\mathbf{\vec r}}{\text{d}t}=\mathbf{\vec v}(t_o)$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\mathbf{\vec r}=\mathbf{\vec v}(t_o)\int^{t}_{t_o}\text{d}t \;\Longleftrightarrow\;\mathbf{\vec r}(t)-\mathbf{\vec r}(t_o)=\mathbf{\vec v}(t_o)(t-t_o)$

Przyjmuje się, że $\fs2 \mathbf{\vec r}(t_o)=\mathbf{\vec r}_o,\;\; \mathbf{\vec{v}}(t_o)=\mathbf{\vec v}$ , zatem

Równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego

$\fbox{ {\mathbf{\vec r}(t)=\mathbf{\vec r}_o+\mathbf{\vec v}(t-t_o)} }$

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

$m\frac{\text{d}\vec v}{\text{d}t}=\vec F_o \;\Longleftrightarrow\;\text{d}\vec{v}=\frac{\vec F_o}{m}\text{d}t$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\vec v=\frac{\vec F_o}{m}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\;\vec{v}(t)-\vec{v}(t_o)=\frac{\vec F_o}{m}(t-t_o)$

Jako, że $\fs2 \frac{\vec F_o}{m}=\vec a$ to można zapisać

$\vec v(t)=\vec v(t_o)+ \vec a(t-t_o) \;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\vec r}{\text{d}t}=\vec v(t_o)+\vec a(t-t_o)\text{d}t$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\vec r=\int^{t}_{t_o}(\vec v(t_o)+\vec a(t-t_o))\text{d}t$

$\vec r(t)-\vec r(t_o)=\vec v(t_o)(t-t_o)+\int^{t}_{t_o}\vec a(t-t_o)\text{d}t\;\left |t-t_o=u \\ \text{d}t=\text{d}u \right|$

$\vec r(t)-\vec r(t_o)=\vec{v}(t_o)(t-t_o)+\int^{t-t_o}_{0}\vec a u\text{d}u$

$\vec r(t)-\vec r(t_o)=\vec{v}(t_o)(t-t_o)+\vec a\left[\frac{u^2}{2}\right]^{t-t_o}_{0}=\vec v(t_o)(t-t_o)+\frac{\vec a(t-t_o)^2}{2}$

Przyjmuje się, że $\fs2 \vec r(t_o)=\vec r_o,\;\; \vec{v}(t_o)=\vec v_o$ , zatem

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego

$\fbox{ \vec r(t)=\vec r_o+\vec v_o(t-t_o)+\frac{\vec a(t-t_o)^2}{2}}$

[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy krzywoliniowe

1. Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu.
Operujmy wartościami, zatem $\fs2 |\Delta \vec \phi|=\Delta \phi$ . Ponadto $\fs2 |\vec \varepsilon|=\varepsilon$ . Rozpatrzmy ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy od czasu $\fs2 t_o$ do wyłączenia stoperów ( $\fs2 t_o+\Delta t$ ), czyli $\fs2 \vec \omega(t_o)=\omega_{o}$ i $\fs2 \vec \omega(t_o+\Delta t)=\omega$ . Otrzymujemy układ równań, w którym wyeliminujemy:
• czas

$\begin{cases}\omega-\omega_{o}=\varepsilon\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\Delta t+\frac{\varepsilon\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(\omega-\omega_{o})=\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\cdot \frac{\omega-\omega_{o}}{\varepsilon}+\frac12 \varepsilon\cdot \frac{(\omega-\omega_{o})^2}{\varepsilon^2}\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(v_x-v_{xo})=\Delta t \\ \Delta \phi= \frac{2\omega_{o}\omega-2\omega_{o}^2}{2\varepsilon}+\frac{ \omega^2+\omega_{o}^2-2\omega\omega_{o}}{2\varepsilon}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\varepsilon}(\omega-\omega_{o})=\Delta t \\ \Delta \phi=\frac{\omega^2-\omega_{o}^2}{2\varepsilon}\end{cases}}$

• przyspieszenie

$\begin{cases}\omega-\omega_{o}=\varepsilon\Delta t \\ \Delta \phi=\omega_{o}\Delta t+\frac{\varepsilon\Delta t^2}{2}\end{cases}\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega-\omega_{o})=\varepsilon \\ \Delta\phi=\omega_{o}\Delta t+\frac12 \cdot \frac{(\omega-\omega_{o})\Delta t^2}{\Delta t}\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega-\omega_{o})=\varepsilon \\ \Delta \phi= \frac{2\omega_{o}\Delta t}{2}+\frac{ \omega\Delta t-\omega_{o}\Delta t}{2}\end{cases} \;\Longleftrightarrow\;\fbox{\begin{cases}\frac{1}{\Delta t}(\omega-\omega_{o})=\varepsilon \\ \Delta \phi=\frac{\omega+\omega_{o}}{2}\cdot \Delta t \end{cases}}$

2. Równania ruchu jednostajnie opóźnionego po okręgu.

Ukryta wiadomoś? / Hidden message

Wiadomość została ukryta, aby ją przeczytać należy się zalogować.

3. Wyprowadzenie wzoru na składową styczną i normalną przyspieszenia.
Należy zacząć o tego, że $\fs2 \frac{\text{d}s}{\text{d}t}=v$ i $\fs2 \hat t=\frac{\text{d}\vec r}{\text{d}s}$ , gdzie $\fs2 \text{d}s$ to długość infinitezymalnego odcinka łuku po jakim porusza się ciało. Oczywiście przyjąłem oznaczenie $\fs2 \text{d}s=|\text{d}\vec r|$ . Wiemy, że

$\vec v=\frac{\text{d}\vec r}{\text{d} t}=\frac{\text{d}\vec r}{\text{d} s}\cdot \frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\hat t v$

Wykorzystajmy I wzór Freneta: $\fs2 \frac{\text{d}\hat t}{\text{d}s}=\frac{\hat n}{\varrho}$ .

$\vec{a}=\frac{\text{d}\vec v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\hat tv)=\frac{\text{d}\hat t}{\text{d}t}v+\hat t\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\hat t}{\text{d}s}\cdot\frac{\text{d}s}{\text{d}t}v+\hat t\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\hat n}{\varrho}v^2+\hat ta_t$

Składowa styczna i normalna przyspieszenia

$\fbox{\vec{a}=\hat n\frac{v^2}{\varrho} +\hat ta_t }$

4. Wyprowadzenie równań ruchów po okręgu z zasad dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.
Rozpatrzmy przypadki:
1) $\fs2 \sum\vec{\Gamma}_i=\vec 0$
2) $\fs2 \sum \vec \Gamma_i=\vec \Gamma=\vec {\text{const}}$
Równanie ruchu jednostajnego po okręgu
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

$I\frac{\text{d}\vec \omega}{\text{d}t}=\sum\vec \Gamma_i \;\Longleftrightarrow\; \text{d}\vec{\omega}=\frac{\sum\vec \Gamma_i}{I}\text{d}t$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \omega=\frac{\sum\vec \Gamma_i}{I}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\;\vec{\omega}(t)-\vec{\omega}(t_o)=\frac{\sum\vec \Gamma_i}{I}(t-t_o)$

Jako, że $\fs2 \sum\vec \Gamma_i=\vec 0$

$\vec \omega(t)=\vec \omega(t_o)\;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\vec \phi}{\text{d}t}=\vec \omega(t_o)$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \phi=\vec \omega(t_o)\int^{t}_{t_o}\text{d}t \;\Longleftrightarrow\;\vec \phi (t)-\vec \phi (t_o)=\vec \omega(t_o)(t-t_o)$

Przyjmuje się, że $\fs2 \vec \phi(t_o)=\vec \phi_o,\;\; \vec{\omega}(t_o)=\vec \omega$ , zatem

Równanie ruchu jednostajnego po okręgu

$\fbox{ {\vec \phi(t)=\vec \phi_o+\vec \omega(t-t_o)}}$

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu
Zapisujemy oczywiście równanie Newtona:

$I\frac{\text{d}\vec v}{\text{d}t}=\vec \Gamma \;\Longleftrightarrow\; \text{d}\vec{\omega}=\frac{\vec \Gamma}{I}\text{d}t$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \omega=\frac{\vec \Gamma}{I}\int^{t}_{t_o}\text{d}t\;\Longleftrightarrow\;\vec{\omega}(t)-\vec{\omega}(t_o)=\frac{\vec \Gamma}{I}(t-t_o)$

Jako, że $\fs2 \frac{\vec \Gamma}{I}=\vec \varepsilon$

$\vec \omega(t)=\vec \omega(t_o)+ \vec \varepsilon (t-t_o) \;\Longleftrightarrow\;\frac{\text{d}\vec \phi}{\text{d}t}=\vec \omega(t_o)+\vec \varepsilon (t-t_o)\text{d}t$

$\int^{t}_{t_o}\text{d}\vec \phi=\int^{t}_{t_o}(\vec \omega(t_o)+\vec \varepsilon (t-t_o))\text{d}t$

$\vec \phi(t)-\vec \phi(t_o)=\vec \omega (t_o)(t-t_o)+\int^{t}_{t_o}\vec \varepsilon (t-t_o)\text{d}t\;\left |t-t_o=u \\ \text{d}t=\text{d}u \right|$

$\vec \phi(t)-\vec \phi(t_o)=\vec{\omega}(t_o)(t-t_o)+\int^{t-t_o}_{0}\vec \varepsilon u\text{d}u$

$\vec \phi(t)-\vec \phi(t_o)=\vec{\omega}(t_o)(t-t_o)+\vec \varepsilon\left[\frac{u^2}{2}\right]^{t-t_o}_{0}=\vec \omega(t_o)(t-t_o)+\frac{\vec \varepsilon (t-t_o)^2}{2}$

Przyjmuje się, że $\fs2 \vec \phi(t_o)=\vec \phi_o,\;\; \vec{\omega}(t_o)=\vec \omega_o$ , zatem

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu

$\fbox{ \vec \phi(t)=\vec \phi_o+\vec \omega_o(t-t_o)+\frac{\vec \varepsilon(t-t_o)^2}{2}}$

[MECHANIKA KLASYCZNA] Ruch drgający

1. Równania ruchu drgającego prostego
Wychodząc z jednowymiarowego równania oscylatora harmonicznego prostego pokażę, że zależności

$x(t)=x_o\cos\omega t+\frac{v_{xo}}{\omega}\sin\omega t$ oraz $x(t)=A\sin$\omega t+\phi$$

są sobie równoważne.
Istotnie. Wprowadzając stałe:^[1]
• $a\;:\!\!=\;x_o$ , $b\;:\!\!=\;\frac{v_{ox}}{\omega}$
równanie przybiera postać

$x(t)=a\cos\omega t+b\sin\omega t$

Kładąc kolejne stałe:
• $a\;:\!\!=\;A\sin\phi$ , $b\;:\!\!=\;A\cos\phi$
uzyskuję

$x(t)=A$sin\phi\cos\omega t+\cos\phi\sin\omega t$$ ,

co po zastosowaniu wzoru: $\fs2 \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$ daje następujący rezultat:

Rozwiązanie r-nia drgań harmonicznych prostych

$\fbox{x(t)=A\sin$\omega t+\phi$}$

2. Uzyskanie wzorów na prędkość i przyspieszenie w ruchu drgającym prostym.

3. Pokazanie, że w ruchu drgającym prostym $\fs2 E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\text{const.}$
Istotnie. Zapiszmy szukana sumę: $\fs2 E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\frac12 kx^2(t)+\frac12 mv^2(t)$ . Kładąc $\fs2 x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$ oraz $\fs2 v(t)=\omega A\cos(\omega t+\phi)$ , jednocześnie korzystając z wcześniej uzyskanego związku $\fs2 \omega ^2=k/m$ uzyskuję:

$E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\frac12 kA^2\sin^2(\omega t+\phi)+\frac12 m\cdot \frac{k}{m}\cdot A^2\cos^2(\omega t+\phi)=\frac{1}{2}kA^2$\sin^2(\omega t+\phi)+\cos^2(\omega t+\phi)$=\frac12 kA^2$

W ruchu drgającym prostym

$\fbox{E^{\text{pot}}+E^{\text{kin}}=\frac12 kA^2=\text{const.}}$

4. Rozwiązanie równania $\fs2 m\ddot{\vec r}+k\vec r=0$ .
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowej $\fs2 m \ddot{x}+\omega^2x=0$

Skorzystajmy najpierw z własności pochodnej funkcji $\fs2 y=e^x$ . Rozpatrzmy równanie skalarne dla współrzędnej $\fs2 x$ . Podstawiam:

$x\;:\!\!=\; e^{\alpha t}$
$\omega^2 \;:\!\!=\; k/m$

Wówczas jednowymiarowe równanie ma postać:

$e^{\alpha t}$\alpha^2+\omega^2$=0$

którego rozwiązania należy szukać w liczbach zespolonych:

$\alpha_1=-i\omega\;\;\;\alpha_2=i\omega$ .

Powracam do podstawienia $\fs2 x=\exp(\alpha t)$
Korzystając z faktu, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest także dowolna kombinacja liniowa rozwiązań piszę:

$x(t)=A_1x_1+A_2x_2=A_1e^{\alpha_1 t}+A_2e^{\alpha_2t}=A_1e^{-i\omega}+A_2e^{i\omega}$

Weźmy warunki początkowe:

$\dot{x}(0)=v_{ox}$

$\begin{cases}x_o=A_1+A_2 \\ v_{ox}=-i\omega A_1+i\omega A_2\end{cases}$

Rozwiązaniem tego układu równań są:

$\begin{cases}A_1=\frac12$x_o-\frac{v_{ox}}{i\omega}$ \\ A_2=\frac12$x_o+\frac{v_{ox}}{i\omega}$\end{cases}$

Zatem nasze równanie można zapisać jako:

$x(t)=x_o\cdot\frac{\exp(i\omega t)+\exp(-i\omega t)}{2}+\frac{v_{ox}}{\omega}\cdot\frac{\exp(i\omega t)-\exp(-i\omega t)}{2i}$

Korzystając ze wzoru Eulera^[3] mamy:

$x(t)=x_o\cos\omega t+\frac{v_{ox}}{\omega}\sin\omega t$

Analogiczne rozumowanie dla składowych y, oraz z daje rezultat

$\vec r(t)=\begin{cases}x(t)=x_o\cos\omega t+\frac{v_{ox}}{\omega}\sin\omega t \\ y(t)=y_o\cos\omega t+\frac{v_{oy}}{\omega}\sin\omega t \\ z(t)=z_o\cos\omega t+\frac{v_{oz}}{\omega}\sin\omega t\end{cases}$

którego należało wyprowadzić.

komentuj publikację