Metody obliczania sum skończonych :: Artykuły / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

Status CUDA Research Center dla Politechniki Gdańskiej

Hiszpańscy inżynierowie proponują nowy wzór obliczania spadku liczby zgonów w wypadkach drogowych

WIDEO: Komórki krwi przekształcone w bijące miocyty

"Od pomysłu do rynku, przekształcając wiedzę w zysk!", La Hulpe, Belgia

Jak nowa nauka przekształca mikroskop optyczny, Londyn, Wlk. Brytania

Przekształcanie UE w innowacyjne społeczeństwo - nowy blog zaprasza do publicznej debaty

Dowody związane z twierdzeniami o liczbach naturalnych niewątpliwie przywołują na myśl zasadę indukcji matematycznej. Jest to wygodne narzędzie, które pozwala uzasadnić nawet dość skomplikowane zależności. Aby skorzystać z tej zasady musimy jednak znać treść twierdzenia. Spostrzeżenie na pierwszy rzut oka wygląda na banalne, jednak chwila refleksji pozwoli dostrzec również sytuację, w której to chcemy właśnie odkryć wzór ogólny. Wówczas zasada indukcji matematycznej jest narzędziem weryfikującym poprawność naszych przekształceń. Tym razem opowiemy o tych właśnie przekształceniach prowadzących do uzyskania nieznanej nam tezy.

Problem #1
Znaleźć ogólny wzór na sumę $T_n=\sum_{k=1}^n kn.$

Zapiszmy tę sumę w sposób jawny i zauważmy, że

$T_n=n+2n+\dots+(n-1)n+n^2=n(1+2+\dots+(n-1)+n)$

Aby znaleźć wzór na sumę $\fs2 T_n$ musimy znać wzór na sumę $\fs2 1+2+\dots+(n-1)+n.$ Oznaczmy ją przez $\fs2 S_n.$
Jednocześnie $\fs2 S_n=n+(n-1)+\dots+2+1.$ Dodając obie sumy otrzymujemy

$2S_n=\underbrace{(n+1)+(n+1)+\dots+(n+1)+(n+1)}_{n-\mbox{skladnikow}}=n(n+1)$

Stąd

$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Powyższy wzór i rozumowanie do niego prowadzące powszechnie przypisywane jest młodemu Gaussowi. Teraz już łatwo wyznaczyć wzór ogólny na sumę $\fs2 T_n$

$T_n=n\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2(n+1)}{2}.$

Problem #2
Dany jest ciąg arytmetyczny $\fs2 (a_n)$ o wyrazie różnicy $\fs2 r,$ to znaczy $\fs2 a_k=a_1+(k-1)r$ dla $\fs2 k=1,2,3,...$
Wyznaczmy wzór na $\fs2 n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

Oznaczmy $\fs2 V_n=\sum_{k=1}^{n}a_k.$ Mamy

$V_n=a_1+a_1+r+a_1+2r+\dots+a_1+(n-1)r=na_1+r(1+2+3+\dots+(n-1))$

Wykorzystajmy wzór na $\fs2 S_n$ dla $\fs2 (n-1)$ -wyrazów z Problemu #1:

$V_n=na_1+r\frac{n(n-1)}{2}=$a_1+\frac{(n-1)r}{2}$n=$\frac{2a_1+(n-1)r}{2}$n=\frac{a_1+a_1+(n-1)r}{2}n$

Wykorzystując wzór na $\fs2 n$ -ty wyraz ciągu otrzymujemy

$V_n=\frac{a_1+a_n}{2}n.$

Problem #3
Dany jest ciąg geometryczny $\fs2 (b_n)$ o ilorazie $\fs2 q$ , to znaczy $\fs2 b_k=b_1+q^{k-1}$ dla $\fs2 k=1,2,3,...$
Wyznaczmy wzór na $\fs2 n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

Niech $\fs2 Q_n=\sum_{k=1}^n b_k.$ Mamy

$Q_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\dots+b_1q^{n-2}+b_1q^{n-1}$

Stąd

$qQ_n=b_1q+b_1q^2+\dots+b_1q^{n-1}+b_1q^{n}$

Wyznaczmy różnicę

Przekształćmy tę równość względem $\fs2 Q_n$

$Q_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.$

Problem #4
Wyznaczymy teraz wzór na sumę $\fs2 U_n=1\cdot1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!$

Zapiszmy sumę $\fs2 U_n$ przy pomocy symbolu sumy:

$U_n=\sum_{k=1}^{n} k\cdot k!$

Zastosujemy sztuczkę często spotykaną przy różnych okazjach. Zapiszemy $\fs2 k$ jako $\fs2 k+1-1$ . To banalne w swojej prostocie przekształcenie wzoru pozwoli na wyznaczenie wzoru szukanej sumy. Mamy

$U_n=\sum_{k=1}^{n} (k+1-1)k!=\sum_{k=1}^n ((k+1)k!-k!)=\sum_{k=1}^n ((k+1)!-k!)=\sum_{k=1}^n (k+1)!-\sum_{k=1}^n k!$

Wobec powyższego

$U_n=(2!+3!+4!+\dots+(n+1)!)-(1!+2!+3!+\dots+n!)=(n+1)!-1!=(n+1)!-1$

Problem #5
Znajdziemy i sprawdzimy wzór na sumę $R_n=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\dots+\frac{n-1}{n!}.$

Zapiszmy $\fs2 R_n$ za pomocą znaku sumy i przekształćmy.

$R_n=\sum_{k=2}^n \frac{k-1}{k!}=\sum_{k=2}^n $\frac{k}{k!}-\frac{1}{k!}$=\sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-1)!}+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}$

Zatem

$R_n=(1+1/2+1/6+1/24+\dots+1/(n-1)!)-(1/2+1/6+1/24+\dots+1/n!)=1-\frac{1}{n!}$

Dostaliśmy więc szukany wzór. Zapiszmy tę obserwację w formie twierdzenia, które uzasadnimy korzystając z zasady indukcji matematycznej. Będzie to forma sprawdzenia czy nie pomyliliśmy się w rachunkach.

Twierdzenie brzmi: Niech $\fs2 n$ będzie liczbą naturalną większą od 1. Wówczas $\fs2 \sum_{k=2}^n \frac{k-1}{k!}=1-\frac{1}{n!}.$

Sprawdzamy prawdziwość tezy dla 2

$\sum_{k=2}^2 \frac{k-1}{k!}=\frac{2-1}{2!}=\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}.$

Załóżmy teraz, że teza jest prawdziwa dla pewnej liczby naturalnej $\fs2 m>2$ , to znaczy zachodzi wzór

$\sum_{k=2}^m \frac{k-1}{k!}=1-\frac{1}{m!}.$

Sprawdzimy czy przy tym założeniu prawdziwa jest teza dla $\fs2 m+1$ .

$\sum_{k=2}^{m+1} \frac{k-1}{k!}=\sum_{k=2}^m \frac{k-1}{k!}+\frac{1}{(m+1)!}$

Korzystając z założenia indukcyjnego mamy

$1-\frac{1}{m!}+\frac{m}{(m+1)!}=(*)$

Jeśli wykażemy, że powyższa suma wynosi $\fs2 1-\frac{1}{(m+1)!}$ , to będzie to koniec dowodu. Istotnie tak jest, ponieważ

$(*)=1-\frac{m+1}{(m+1)!}+\frac{m}{(m+1)!}=1+\frac{-(m+1)+m}{(m+1)!}=1-\frac{1}{(m+1)!}.$

Tym samym potwierdziliśmy prawdziwość wyprowadzonego przez nas wzoru.

Na podstawie: Witold Bednarek, Bez indukcji, Matematyka nr 1, 2008, s. 36-38.

komentuj publikację

Czy wiesz że...?

wersja BETA

Wirtualne Call Center (WCC) jest alternatywą dla tradycyjnego call center. Wirtualne call center wyróżnia się tym, iż nie wymaga zakupu oprogramowania i dodatkowego sprzętu. Jedyne co potrzebne jest, by korzystać z wirtualnego call center, to komputer z dostępem do Internetu oraz mikrofon i słuchawki. pełny tekst

3 World Trade Center wieżowiec, który jest obecnie w trakcie budowy, znajdujący się w dzielnicy Lower Manhattan na Manhattanie w Nowym Jorku w Stanach Zjednoczonych. Jest on jednym z czterech biurowców nowego kompleksu World Trade Center (obok 1 World Trade Center, 2 World Trade Center i 4 World Trade Center), który powstanie w miejscu zniszczonego kompleksu WTC w zamachach z 11 września. Budowa wieżowca rozpoczęła się w 2010 roku, zaś ukończenie jest planowane na 2014 rok. pełny tekst

Contact Center jest rozwinięciem koncepcji Call center, gdzie medium kontaktu przedsiębiorstwa z klientem jest telefon. Contact Center do łączności telefonicznej dodaje kontakt poprzez: pełny tekst

4 World Trade Center - wieżowiec, który jest obecnie w trakcie budowy, znajdujący się w dzielnicy Lower Manhattan na Manhattanie w mieście Nowy Jork w Stanach Zjednoczonych. Jest on jednym z czterech biurowców nowego kompleksu World Trade Center (obok: 1 World Trade Center, 2 World Trade Center oraz 3 World Trade Center), który powstanie w miejscu zniszczonego kompleksu WTC z zamachach z 11 września 2001. Budowa wieżowca rozpoczęła się w 2010 roku, zaś skończenie budowy jest planowane na 2013 rok (równolegle z 1WTC). pełny tekst

Moduł "Czy wiesz że...?" (wersja testowa, beta): definicje/pojęcia wygenerowane w obrębie tego modułu pochodzą z Wikipedii i udostępniane są na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Dostęp do pełnej wersji każdego hasła (oraz dokładnch informacji na temat licencji, autora oraz edycji) możliwy jest po kliknięciu w odnośnik opisany jako "pełny tekst".