Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.

Droga Czytelniczko, Drogi Czytelniku,

Czerniak złośliwy jest często występującym nowotworem złośliwym skóry. Niestety wyniki leczenia czerniaka w Polsce należą do najgorszych w Europie. Niezrozumiałe pozostają przyczyny późnego rozpoznawania czerniaka skóry, którego diagnostyka jest najprostszą i najtańszą w całej onkologii.

Kierujemy do Ciebie prośbę o wypełnienie anonimowej ankiety, która pozwoli na ocenę naszej wiedzy o czerniaku skóry, a w szczególności o profilaktyce i leczeniu tej choroby.
Czas jaki to zajmie - około 10-15 minut.

Czy chcesz pomóc w badaniach naukowych - odpowiedzieć na nasze pytania?

TAK, wypełniam
NIE, odmawiam

Zebrane informacje wykorzystane zostaną wyłącznie do celów naukowych

Polski Serwis Naukowy - OnLine od 1999 roku

RSS

Regulaminy

Wyszukiwanie:

Na skróty:

Rejestracja

Dodaj zadanie

Biologia Chemia Fizyka Geografia Informatyka Matematyka Przedsiębiorczość

Historia Język polski Język angielski Język francuski Język niemiecki Języki obce - pozostałe WOS Pozostałe

Prezentacje maturalne

Czwartek, 31 maja 2012

Petronia, Bożysława, Ernestyna, Teodor

1891: budowa Kolei Transsyberyjskiej

1970: zagłada miasta Yungay w Peru

WHO: Dzień bez Papierosa

Dodaj do:

Nowe publikacje

Artykuły Artykuły		Wydarzenia Wydarzenia		Kompendium Kompendium
AGH nie przerywa prac nad projektem systemu INDECT Akademia Górniczo - Hutnicza nie przerywa prac nad projektem systemu INDECT, który ma się przyczynić do podniesienia bezpieczeństwa i pomóc w wykrywaniu [...] dalej » W Lubuskiem odkryto krzemienie do krzesania ognia sprzed 12 tys. lat Prof. Nosal: geniusz musi być trochę "dziwny" NCBJ zachęci mazowieckich uczniów do nauk ścisłych Wilgoć w grobowcu Kopernika we Fromborku AstroNautilus - nowe czasopismo astronautyczne na polskim rynku Prof. Vlasak profesorem honorowym Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu 5. Europejska Konferencja Nowotworów Głowy i Szyi Prawie tysiąc uczestników z 58 krajów świata weźmie udział w rozpoczynającej się w środę w Poznaniu 5. [...] dalej » Geodium - nowa atrakcja toruńskiego Planetarium Pierwsze warsztaty nt. społeczno-biznesowych obliczeń komputerowych, Wilno, Litwa "Międzynarodowe warsztaty nt. tworzenia klastrów danych o dużej wymiarowości", Neapol, Włochy W Kawiarni Naukowej w Sopocie o tym, czy da się opisać świat liczbami Astronomiczne imprezy 12. Toruńskiego Festiwalu Nauki i Sztuki Obchody Międzynarodowego Dnia Ochrony Zabytków w Stargardzie Szczecińskim PRÄPOSITIONEN PRÄPOSITIONEN - przyimki, powodują, iż wielu łapie się za głowę nie wiedząc, jakie stosować [...] dalej » Tożsamość płciowa, a zachowania agresywne młodzieży. Powitania i pożegnania Psychologia kliniczna Istota i zakres diagnozowania zaproponuj temat do kompendium języka niemieckiego [Algebra liniowa] Macierze

» Ścisłe » Matematyka » Dyskusje

Odpowiedz

Skocz do:

Pochodne funkcji - obliczanie, zastosowanie w fizyce i nie tylko.

Zobacz podobne tematy:

Granica funkcji, asymptomy, pochodne, granica ciągu.

granica funkcji dwóch zmiennych

Widziałem dinozaura

Matematyka - no nie wiem

wiem, że są wakacje...ale mimo wsyzstko fizyka ponad wszysto

pochodne alkocholi

Post dodany: |3 Gru 2008|, 2008 19:35

Data rejestracji: 11 Cze 2007 postów: 5113

cytuj

" "

Z tego, co wiem, to pochodną (w punkcie czy jak?) liczy się z wzoru:

$f \prime (x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) + f(x)}{h}$

To wszystko? Oczywiście wiem, że są też inne zależności.

Słyszałem też, że wykres pochodnej funkcji w punkcie to linia prosta styczna do wykresu danej funkcji w danym punkcie. Ale widziałem wyliczone pochodne, które nie były zależnością liniową. Więc jak to z tym jest?

Poza tym z powyższego wzoru wynika, że pochodna to granica, a granica z tego, co do tej pory widziałem to liczba, a nie funkcja.

Może ktoś sprostować moje informacje dotyczące pojęcia pochodnej i sposobu obliczania? I przy okazji - w fizyce prędkość i przyspieszenie to pochodne przemieszczenia (pierwsza i druga). Może mi ktoś pokazać to na przykładzie?

Pomóż - wystarczy kliknięcie!

Nie odpowiadam na PW z zadaniami.

Ostatnio zmieniony przez _Mithrandir |3 Gru 2008|, 2008 19:36, w całości zmieniany 1 raz

_Mithrandir

Profil

www

»więcej

Post dodany: |3 Gru 2008|, 2008 20:13

Data rejestracji: 22 Lip 2006 postów: 1989

cytuj

" "

Jeśli ma być to pochodna funkcji f w punkcie x_0

, to granica musi wyglądać tak:

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Dokładnie mówiąc, jest to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do funkcji

w punkcie

Taki współczynnik kierunkowy dla różnych punktów (x,f(x))

może być różny, więc może być w ogólności dany jakimś wzorem zależnym od argumentów funkcji f.

Zatem geometrycznie rzecz biorąc pochodna jest to tangens nachylania prostej stycznej do wykresu

, w pkt

.

Stąd jeśli weźmiemy zwykłą funkcję liniową f(x)=ax+b

, to mamy dla dowolnego argumentu $a=\tan\alpha=f^\prime(x)$

Z interpretacji geometrycznej łatwo widać na przykład dlaczego jeśli

ma ekstremum w pkt x_0

to $f^\prime(x_0)=0$ (warunek konieczny istnienia esktremum) Jeśli w x_0 jest ekstremum, to prosta styczna w tym punkcie musi być równoległa do osi OX, czyli tworzy z nią kąt 0^o

a $\tan 0=0$

GŁóWNY REGULAMIN | LaTeX | Zadania-Regulamin | Kompendium matematyki

Matematyka jest jak kobieta. Pierw trzeba ją pokochać, żeby coś wyszło..

Ostatnio zmieniony przez przem_as |3 Gru 2008|, 2008 20:14, w całości zmieniany 1 raz

przem_as

Profil

e-mail

www

»więcej

Post dodany: |3 Gru 2008|, 2008 21:39

Data rejestracji: 18 Lip 2007 postów: 2351

cytuj

" "

Co tu można dodać: pochodna w punkcie x_o

jest także liczbą. Jeżeli jednak każdemu x-owi funkcji f przyporządkujemy wartość jego pochodnej w tym punkcie, to takie przyporządkowanie tworzy funkcję f'(x).

Pochodna informuje nas o szybkości wzrostu funkcji. Im bardziej stromy wykres tym szybciej rośnie/maleje funkcja. Zauważ, że w danym punkcie tangens nachylenia stycznej w tym punkcie do osi Ox może duży co odpowiada dużemu kątowi a w innym mały kąt co odpowiada małemu tangensowi (patrz wykres f. y=tg(x)). Np. dla takiej f. kwadratowej tangens ten ciągle się zmienia i nie on stałej wartości przez co (pewnie powtórzę przem_asa) dla każdego x_i

przypisywany jest $\text{tg}x_i$ i takie uporządkowanie tych par tworzy już pochodną jako funkcję.

Jeśli chodzi o def. pochodnej w punkcie, to symbol h został wprowadzony dla wygody:

$f^{\prim}(x_o)=\lim_{x\to x_o}\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\;\stackrel{[h=x-x_o]}{=}\;\lim_{h\to 0}\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}$

Można policzyć np. pochodną funkcji kwadratowej w pewnym punkcie:

$\begin{eqnarray}{f^\prim (x_o)=} \\ & & =\lim_{h\to 0}\frac{a(x_o+h)^2+b(x_o+h)+x-(ax_o^2+bx_o+c)}{h}= \\ & & = \lim_{h\to 0}\frac{ah^2+2ax_oh+h^2+bh}{h}= \\ & & =\lim_{h\to 0}(ah+2ax_o+h+b)= \\ & & =2ax_o+b\end{eqnarray}$

Tyle wynosi pochodna funkcji w x_o

. Ale można to rozszerzyć do funkcji: $f^\prim (x)=2ax+b$

Oczywiście liczenie pochodnej z definicji nie jest trudne, ale długie. Istnieją wzory wyprowadzone z definicji ułatwiające liczenie pochodnej. Ale o nich nie dzisiaj (przynajmniej ja).

Co do fizyki to prędkość jest funkcją wektorową i pochodną f. wektorowej położenia. Jak poznasz wzór na pochodną iloczynu, to można o tym pogadać w pełni, bo tylko w układzie współrzędnych kartezjańskich wszystko jest ładnie i fajnie.

Naukowy.pl: FAQ | Regulaminy i Poradniki | Szukaj | POMÓŻ LUDZIOM | POMÓŻ ZWIERZĘTOM

Ostatnio zmieniony przez Kris |3 Gru 2008|, 2008 21:44, w całości zmieniany 1 raz

Kris

Profil

e-mail

»więcej

Post dodany: |4 Gru 2008|, 2008 16:32

Data rejestracji: 11 Cze 2007 postów: 5113

cytuj

" "

Kris napisał/a

Jak poznasz wzór na pochodną iloczynu, to można o tym pogadać w pełni, bo tylko w układzie współrzędnych kartezjańskich wszystko jest ładnie i fajnie.

Znam ten wzór, jeżeli w związku z tym chcesz dodać

Rozumiem, że prosta jako wykres pochodnej ogólnie, to bujda.

Wracając do fizyki - mógłbyś pokazać liczenie np. prędkości i przyspieszenia za pomocą pochodnej z jakiejś funkcji wektorowej położenia? Bo inaczej się o tym mówi, a inaczej to wygląda w praktyce dla kogoś, kto właściwie jest w temacie zielony

Przy okazji - pewnie warto dobrze zaznajomić się z tabelką pochodnych na wikipedii?

Pomóż - wystarczy kliknięcie!

Nie odpowiadam na PW z zadaniami.

Ostatnio zmieniony przez _Mithrandir |4 Gru 2008|, 2008 16:34, w całości zmieniany 1 raz

_Mithrandir

Profil

www

»więcej

Post dodany: |4 Gru 2008|, 2008 20:09

Data rejestracji: 18 Lip 2007 postów: 2351

cytuj

" "

Można się zapoznać z tą tabelką, ale równie dobrze można ją sobie samemu zrobić. :razz:

Kiedyś nie wiedziałem jak policzyć pochodną (a^2-x^2)^2

więc liczyłem z definicji, ale nie polecam.

Co w tej fizyce. Weźmy sobie wektor wodzący w układzie współrzędnych kartezjańskich: $\vec r(t)=x\hat x+y\hat y+z\hat z$ . Mamy tu funkcję wektorową. Policzmy prędkość:

$\dot{\vec r}=(x\hat x)^\prim+(y\hat y)^\prim+(z\hat z)^\prim=(\dot{x}\hat x+x\dot{\hat x})+(\dot{y}\hat y+y\dot{\hat y})+(\dot{z}\hat z+z\dot{\hat z})$

Pochodne $\dot{\hat x}=\dot{\hat y}=\dot{\hat z}=0$ , gdyż wersory w układzie współrzędnych kartezjańskim nie zmieniają się z czasem - są sztywno związane z osiami a układ nie wykonuje obrotów, zatem

$\dot{\vec r}=\dot{x}\hat x+\dot{y}\hat y+\dot{z}\hat z=v_x\hat x=v_y\hat y+v_z\hat z$

Jutro spróbuję Cię przekonać, że pojęcia m.in. prędkości kątowej są konsekwencją wyboru innego układu współrzędnych.

Teraz pozostanę przy układzie kartezjańskim.

Niech ruch ciała będzie dany równaniem r(t)=2t^2+5t+2

. Aby policzyć prędkość trzeba policzyć po prostu pochodną po czasie. $\dot{ r}(t)= 2\cdot (2t^{2-1})+1\cdot (5t^{1-1})+0=4t+5$ , bo pochodna stałej to 0. Teraz trzeba znaleźć przyspieszenie. $a=\dot{v}=4+0$ . Jak widzisz nie jest to takie trudne. W najbliższej przyszłości wypadałoby Ci pokazać jak za pomocą pochodnej określa się monotoniczność funkcji (wtedy nie będzie trzeba liczyć II pochodnej w celu ustalenia czy np. ekstrema to minima czy maksima).

kropka nad funkcją oznacza pochodną po czasie, dwie kropki drugą pochodną - dla wygody wprowadził Newton - oznaczenie używane w mechanice.

[ Dodano: 4 Grudzień 2008, 20:12 ]

_Mithrandir napisał/a

Rozumiem, że prosta jako wykres pochodnej ogólnie, to bujda.

Nie do końca. Nie każdej pochodnej jeśli już. Np. pochodna f. kwadratowej to prosta.

[ Dodano: 4 Grudzień 2008, 20:13 ]
jeśli nie chcesz czeka z tym ruchem po okręgu to masz coś tutaj http://forum.servis.pl/viewtopic.php?t=15861 ale to chyba mało pedagogiczne.

Naukowy.pl: FAQ | Regulaminy i Poradniki | Szukaj | POMÓŻ LUDZIOM | POMÓŻ ZWIERZĘTOM

Kris

Profil

e-mail

»więcej

Post dodany: |5 Gru 2008|, 2008 14:47

Data rejestracji: 11 Cze 2007 postów: 5113

cytuj

" "

Kris napisał/a

$\dot{\vec r}=\dot{x}\hat x+\dot{y}\hat y+\dot{z}\hat z=v_x\hat x=v_y\hat y+v_z\hat z$

A czemu $v_x\hat x=v_y\hat y+v_z\hat z$ ? Tam miało być dodawanie zamiast znaku równości czy ja coś źle zrozumiałem?

"Różniczkować funkcję" to to samo co "obliczać pochodną funkcji"?

"pochodną po czasie" - tzn. to określenie pierwszej pochodnej czy jak?

Z tego co widzę, pochodna jest ściśle związana ze zmianą czegoś. Jak to dokładniej wygląda?

Przy okazji - jak obliczyć pochodną funkcji złożonej $y=cos \omega t$ ? Z tego co wiem, to się oblicza pochodne funkcji elementarnych (czy jak to się tam nazywa?). Wiem, że Pochodna cosx to -sinx. A co z argumentem $x=\omega t$ ? Pochodna tego iloczynu to $\dot x=\omega \cdot \dot t + \dot \omega \cdot t=\omega$ ? Czyli wtedy całość to $-sin \omega$ ? Bo t to zmienna (pochodna równa 1), a $\omega$ to chyba stała (pochodna równa 0).

Pomóż - wystarczy kliknięcie!

Nie odpowiadam na PW z zadaniami.

Ostatnio zmieniony przez _Mithrandir |5 Gru 2008|, 2008 14:51, w całości zmieniany 2 razy

_Mithrandir

Profil

www

»więcej

Post dodany: |5 Gru 2008|, 2008 16:28

Data rejestracji: 18 Lip 2007 postów: 2351

cytuj

" "

Tak, miał być +, nie wyszło

Różniczkowanie, to obliczanie pochodnej, wiec tak.

Pochodna po czasie to obliczanie pochodnej względem zmiennej t. Zamiast pisać, że pochodna położenia po czasie $\vec r^\prim (t)$ lub $\vec r^\prim _t$ pisze się $\dot{\vec r}$ i nie trzeba dodawać żadnych wskaźników mówiących o tym, że obliczamy względem jakiejś szczególnej zmiennej. Jeśli np. prędkość zależy od położenia i od czasu to trzeba zaznaczyć po czym różniczkujemy - względem jakiej zmiennej.

Pochodną I rzędu pewnej funkcji można uważać za tempo wzrostu funkcji, czyli pierwsza pochodna informuje nas jak szybko rośnie funkcja. Np. im bliżej wierzchołka paraboli się znajdujemy tym nasz "teren bardziej się wypłaszcza" i pochodna jest tam mała i funkcja rośnie lub maleje tam wolniej.

Pochodna z samej definicji jest związana ze zmianą czegoś. Wszak to granica ilorazu różnicowego.

O pochodnej f. złożonej jest łatwo mówić w notacji Lebnitz'a (kiedy pochodną traktujemy jak zwykłe wyrażenie algebraiczne). Mamy f. $x=A\cos(\omega t+\phi)$ , która jest złożeniem funkcji $x=A\cos(h(t))$ i $h(t)=\omega t+\phi$ . Reguła różniczkowania f. złożonej jest taka:

$[f(h(t))]^\prim=f^\prim (h(t))\cdot h^\prim (t)$ a w notacji Leibnitz'a $f^\prim (t)=\frac{df}{dt}=\frac{df}{dh}\cdot \frac{dh}{dt}$ , czyli pochodna $\dot{x}=A\cdot (\cos (h(t)))^\prim\cdot (\omega t+\phi)^\prim =A\cdot (-sin(h(t))\cdot \omega$

gdzie omega jest stałą i zgodnie ze wzorem [a*f(x)]'=a*f'(x) wyłączamy ją przed znak pochodnej. fi jest stałą wolno stojącą i jej pochodna wynosi 0. Wracając do podstawienia za h(t) mamy:

$\dot{x}=-A\omega\sin(\omega t+\phi)$

Naukowy.pl: FAQ | Regulaminy i Poradniki | Szukaj | POMÓŻ LUDZIOM | POMÓŻ ZWIERZĘTOM

Ostatnio zmieniony przez Kris |5 Gru 2008|, 2008 16:30, w całości zmieniany 1 raz

Kris

Profil

e-mail

»więcej

Post dodany: |6 Gru 2008|, 2008 14:55

Data rejestracji: 11 Cze 2007 postów: 5113

cytuj

" "

Ok, ten fragment już rozumiem

Kris napisał/a

Jutro spróbuję Cię przekonać, że pojęcia m.in. prędkości kątowej są konsekwencją wyboru innego układu współrzędnych.

Jak masz czas, to możesz coś napisać o tym i...

Kris napisał/a

Jak widzisz nie jest to takie trudne. W najbliższej przyszłości wypadałoby Ci pokazać jak za pomocą pochodnej określa się monotoniczność funkcji (wtedy nie będzie trzeba liczyć II pochodnej w celu ustalenia czy np. ekstrema to minima czy maksima).

...i o tym

A i przy okazji. Pochodna wektora $\vec a = [x ; y]$ to $\dot {\vec a} = [\dot x; \dot y]$ ?

Pomóż - wystarczy kliknięcie!

Nie odpowiadam na PW z zadaniami.

_Mithrandir

Profil

www

»więcej

Post dodany: |6 Gru 2008|, 2008 19:58

Data rejestracji: 18 Lip 2007 postów: 2351

cytuj

" "

To od końca: TAK

I małe sprostowanie do moich wypowiedzi: kropka nie zawsze oznacza pochodną po czasie.

To co powiem to będą twierdzenia bez dowodów, bo dowody wymagają znajomości twierdzenia Lagrange'a, które wymaga znajomości tw. Rolle'a, które wymaga znajomości własności funkcji ciągłych, które to własności także trzeba dowodzić i jak widać teraz nie ma to sensu. (No chyba, ze ktoś zna inne drogi). Na szczęście te twierdzenia są dość intuicyjne.

TWIERDZENIE
Jeśli $\dot{f}(x)>0$ na przedziale (a,b)

, to

rośnie na

Jeśli $\dot{f}(x)<0$ na przedziale (a,b)

, to

maleje na

Jeśli $\dot{f}(x)=0$ na przedziale (a,b)

, to

jest stała na (a,b)

Zauważ, że tutaj pochodna rozumiemy jako funkcję. Przy ekstremach naturalnym jest, że skupimy się na pochodnej f. w punkcie.

EKSTREMA (lokalne)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie x_o

jest zerowanie się pochodnej w tym punkcie: $\dot{f}(x_o)=0$ .
Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający do istnienia ekstremum. Zobaczmy sztandarowy przykład: y=x^3

, $\dot{y}=x^2$ . Pochodna zeruje się w punkcie x=0, ale nie ma tam ekstremum (zobacz wykres). W (0,0) nie ma żadnej górki ani doliny tylko funkcja dalej się wznosi.
Funkcja ma ekstremum w x_o

jeśli $\dot{f}(x_o)=0$ i pochodna w tym punkcie zmienia znak. Np. y=x^2

ma x=0 ekstremum, bo jej pochodna: y'=x zmienia znak w x=0, czyli tam gdzie y'=0. Ekstrema rozgranicza się na minima (pochodna zmienia znak z - na +) oraz maksima (pochodna zmienia znak z + na -). Zauważ, że Jeśli f. maleje (pochodna<0), osiąga ekstremum i zaczyna rosnąć (pochodna>0), to to ekstremum musi być minimum (wykres tworzy taką dolinę). Podobna sytuacja ma się z maksimum lokalnym.

A teraz przykład: określ monotoniczność funkcji i znajdź jej ekstrema oraz nazwij je.
$f(x)=\frac{(x-2)^2}{x}$
Wskazówka: skorzystać z [f/g]'=(f'g-g'f)/g^2. Zauważ, że znak pochodnej zależeć będzie tylko od znaku licznika. Należy oczywiście wyznaczyć dziedzinę funkcji.

To z prędkością kątową to jak zrobię, albo znajdę jakiś fajny rysunek.

Naukowy.pl: FAQ | Regulaminy i Poradniki | Szukaj | POMÓŻ LUDZIOM | POMÓŻ ZWIERZĘTOM

Kris

Profil

e-mail

»więcej

Post dodany: |7 Gru 2008|, 2008 12:16

Data rejestracji: 11 Cze 2007 postów: 5113

cytuj

" "

Sama pochodna wyszła mi taka:

$f ^\prim (x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}$

Monotoniczność:

F. rosnąca w przedziałach $( - \infty, -2)$ , $(2, + \infty)$ .

F. stała w punktach -2, 0, 2.

F. malejąca w przedziałach (-2, 0), (0, 2).

Ekstrema:

Maksimum: f(-2)=-8.
Minimum: f(2)=0.

Przy okazji - co oznacza ten zapis: $\dot x = {dx \over d \;\cdot\;}, \ddot x = {d^2 x \over d {\;\cdot\;}^2}$ ? Wiem, że to oznacza pochodną. To co w liczniku jest po "d" to funkcja, którą różniczkujemy, a to, co w mianowniku po "d" to zmienna, po której różniczkujemy? Samo "d" ma jakąś szczególną nazwę?

Czyli pochodną można oznaczać kropkami dla dowolnych zmiennych?

Pomóż - wystarczy kliknięcie!

Nie odpowiadam na PW z zadaniami.

Ostatnio zmieniony przez _Mithrandir |7 Gru 2008|, 2008 12:18, w całości zmieniany 1 raz

_Mithrandir

Profil

www

»więcej

Odpowiedz

Skocz do:

» Ścisłe » Matematyka » Dyskusje

Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
Nie możesz załączać plików na tym forum
Możesz ściągać załączniki na tym forum

Wersja do druku
Dodaj temat do Ulubionych

O Portalu

Rekrutacja

Warunki korzystania, polityka pryw.