Mam zadanie:

Niech będzie relacją między punktami płaszczyzny określoną następująco:



Wykaż, że jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Uzasadnij, że nie jest relacją porządkującą liniowo zbiór . Dla zbiorów oraz wyznacz elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe oraz kresy.

Do uzasadnienia, że relacja R nie jest relacją porządkującą liniowo zbiór doszedłem. Problem jest dalej. Tak średnio kojarzę jak znaleźć te wszystkie elementy. Minimalne w zbiorze A, to będą te, które nie mają żadnego poprzednika. Jak dla mnie, to takimi elementami będą np. (-1, 0), (0, -1) (bo nie istnieje żaden poprzednik), ale z tego, co mi się wydaje, będzie ich nieskończenie wiele. Dobrze byłoby określić je jakimś wzorem ogólnym, np. , ale czy to się zgadza? Wtedy oczywiście element najmniejszy nie istnieje. Co z kresem dolnym?

Jeśli chodzi o koło, to wydaje mi się, że elementy maksymalne leżą na ćwiartce okręgu z I ćwiartki układu. Zbiór punktów największych jest jednak pusty, bo gdyby istniał element największy, to musiałby być większy lub równy od każdego innego (co oznacza, że również musiałby być z nim porównywalny). Widać, że element największy musiałby być którymś z elementów maksymalnych ale one nie są porównywalne w zadanym porządku.
Analogiczne rozumowanie byłoby dla el. minimalnych i najmniejszych.
Kres górny i dolny moim zdaniem nie istnieje, bo znów kłania się porównywanie elementów zbioru.
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem, dawno tego nie robiłem

Dzięki Myślałem o tych kresach, (-1,-1) jako infimum i (1,1) jako supremum chyba by pasowały?

[ Dodano: 20 Styczeń 2010, 01:07 ]
No i wtedy elementy maksymalne zbioru A to byłyby .

A zbiór B - te same kresy, elementy maksymalne i minimalne tej samej postaci: (x, -x), no i brak el. najw. i najmn.

Sam już nie wiem, o tej porze myślę tylko o poduszce