• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Jak zrozumieć matematyka?

    04.08.2011. 18:32
    opublikowane przez: Przemysaw Szydzik

    Czy matematyka można uprawiać jedynie poprzez pisanie wierszy przepełnionych skomplikowanymi formułami, które zawierają litery z przynajmniej kilku alfabetów? Matematycy starają się nie tylko o matematyce pisać, ale również o niej opowiadać.

    Spróbuję w tym krótkim tekście podać kilka dość uniwersalnych i prostych przykładów, które są powszechnie wykorzystywane, ale również bardzo dokładnie opisują pewne zależności. W dyskusji bowiem, podobnie jak na piśmie, należy przestrzegać jednoznaczności i precyzji wypowiedzi.

    Matematyk mówi "albo"

    Z lekcji matematyki znany jest spójnik logiczny "lub" (symbol ), który łączy dwa zdania. Przypomnę, że w matematyce rozważa się zdania, którym można przypisać jednoznacznie i obiektywnie prawdę lub fałsz. Zdanie utworzone z dwóch zdań połączonych spójnikiem "lub" jest prawdziwe tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe.
    Zdania:
    "Kupię hiszpańskie ogórki lub niemieckie czekoladki."
    "Kupię hiszpańskie ogórki albo niemieckie czekoladki."

    w języku potocznym oznaczają praktycznie to samo. Matematyk zgodnie z tym, co jest powyżej napisane o spójniku "lub" będzie inaczej rozumiał zdanie pierwsze. Dopuszczalna dla niego jest sytuacja, w której osoba wypowiadająca to zdanie wraca z zakupów z ogórkami i czekoladkami.

    W matematyce rozumienie powyższych zdań tak, jak w języku potocznym, zapewnia spójnik "albo" (oznacza się go przez ). Zdanie zwierające ten spójnik jest prawdziwe tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań składowych jest prawdziwe.
    Zatem drugie zdanie dla matematyka oznacza tyle, że jeśli zdanie ma być prawdziwe, to wybór musi paść albo na na hiszpańskie warzywo albo niemieckie łakocie.

    Matematyk szuka tej jednej

    Kolejne przykłady będą wymagały już pewnych matematycznych zapisów, które spróbuję przełożyć na "opis słowno-muzyczny" (jak to niekiedy mawiają ścisłowcy). Załóżmy, że mamy kilka (skończoną liczbę) liczb rzeczywistych.
    Niech będzie ich dokładnie , tzn.: .

    Jeśli matematyk chce powiedzieć, że nie wszystkie z tych liczb są równe 0, to zauważmy, że tak na prawdę chce przekazać krótko następującą zależność:
    Zauważmy, że jest to dosyć eleganckie zapisanie wypowiedzianej zależności. Po lewej stronie mamy liczby większe lub równe 0, zatem jeśli taka suma ma być większa od 0, to musi być chociażby jedna spośród liczb , która jest różna od 0, co wyczerpuje wymagania stawiane w warunku.

    Zostańmy przy wybranych liczbach. Rozważmy inny warunek " wśród tych liczb znajduje się co najmniej jedna, która jest równa 0. Z jednej strony możemy to zapisać korzystając z kwantyfikatorów, wówczas mamy zapis postaci:
    Niekiedy taki zapis jest jednak zbyt rozbudowany i może rozpraszać uwagę, na przykład gdy mówimy o warunku rozwiązania jakiegoś zadania. Istnieje jednak prostszy sposób zapisu tej zależności:

    Taki iloczyn zeruje się tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy 0.

    Matematyk szuka właściwego "momentu"

    W matematyce powszechnie stosuje się konstrukcje:

    "od pewnego momentu" lub "od pewnego miejsca"

    Znaczenie tych zwrotów jest generalnie podobne. Rzecz w tym, aby określić miejsce w czasie lub przestrzeni, od którego zachodzi interesująca nas zależność. Rozważmy zwrot: "od pewnego momentu obiekt x ma cechę ze zbioru Q". Matematycznie zapisuje się to w sposób następujący:
    oznacza to w praktyce, że jest tym oczekiwanym momentem (lub miejscem), od którego już wszystkie mają określoną cechę.

    Mówimy o tym na dość wysokim poziomie ogólności. Przyjrzyjmy się, jakimi elementami muszą być liczby i . Na pewno są elementami jakiegoś zbioru, dla którego, dla którego standardowa relacja mniejszości (lub większości) ma sens. Naturalnymi przykładami są zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych dodatnich. Czytelnikowi pozostawiam refleksję na temat dlaczego nie mówimy na przykład o zbiorze liczb całkowitych i całym zbiorze liczb rzeczywistych.
    W wypadku liczb naturalnych mówimy o czasie dyskretnym, czyli podzielonym na równe odstępy czasu, pomiędzy którymi nie zmienia się nic, np. przy skali sekundowej, nie dopuszczamy możliwości zmierzenia cechy dokładnie w 22,4 s. Dla liczb rzeczywistych mowa jest o czasie ciągłym. Wówczas możemy mierzyć cechę w dowolnym momencie lub odcinku czasu.

    Zostańmy jednak przy liczbach naturalnych. Zapis:
    można interpretować jeszcze w inny sposób: "prawie wszystkie mają cechę ze zbioru ".
    Zwrot "prawie wszystkie" jest również bardzo popularny wśród matematyków i oznacza tyle, co "wszystkie, poza skończoną ilością". Zauważmy, że taka interpretacja nie jest właściwa dla liczb rzeczywistych, bo w odcinku mieści się "nieskończenie wiele" liczb. Tego problemu nie ma dla liczb naturalnych, bowiem w zbiorze znajdziemy tylko liczb, które nie wpływają na ogólną tendencję pozostałych nieskończenie wielu , zależnych od nieskończenie wielu liczb naturalnych, liczonych od .

    Kilka podanych przeze mnie przykładów nie wyczerpuje tematu. Każda dyscyplina matematyczna odznacza się swoim własnych charakterem oznaczeń, a także słownictwem wraz ze zwrotami przez nie tworzonymi. Wiele z nich jest tworzonych na podstawie definicji, które niekiedy bardzo trafnie i obrazowo określają matematyczną obserwację.

    Czy wiesz ĹĽe...? (beta)
    Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an). W matematyce, elementarna teoria liczb jest działem teorii liczb, posługującym się elementarnymi metodami. Zakres elementarnej teorii liczb jest płynny i zmienia się w czasie. Przyjęto, że unika ona stosowania funkcji analitycznych (podczas, gdy stosowanie liczb zespolonych wciąż można uznać za elementarne). Elementarna teoria liczb, choć wydzielona, to zawarta jest w pozostałych działach teorii liczb: w algebraicznej, analitycznej, geometrycznej, kombinatorycznej. Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n różnych nie powtarzających się dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

    Rozszerzenie ciała - w teorii ciał jest to większe w sensie inkluzji ciało zawierające dane ciało. Na przykład, ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z nich nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.

    Arytmetyka teoretyczna (z łac. arithmos – liczba) – nauka o liczbach. Zajmuje się definiowaniem różnych rodzajów liczb, działań na nich oraz wyjaśnianiem związków pomiędzy zdefiniowanymi zbiorami liczbowymi. Podstawowym zbiorem jest zbiór liczb naturalnych. Za pomocą liczb naturalnych można skonstruować kolejno: liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste i zespolone. Pozostałe, bardziej skomplikowane rodzaje liczb powstają przez rozszerzenie poprzedniego rodzaju liczb. Tak więc definicje wszystkich rodzajów liczb opierają się na definicji liczb naturalnych, a co za tym idzie, problem niesprzeczności różnych systemów liczbowych sprowadza się do problemu niesprzeczności teorii liczb naturalnych. Kaskada - gra liczbowa organizowana przez Totalizator Sportowy od 8 maja 2011 roku. W przeciwieństwie do pozostałych gier liczbowy w Kaskadzie gracz nie może typować własnych liczb - gracz otrzymuje dwa losowe zestawy zawierające po 12 liczb ze zbioru liczb od 1 do 24. Zestawy wzajemnie się pokrywają co oznacza że wszystkie liczby ze zbioru liczb od 1 do 24 występują dokładnie raz w jednym z dwóch zestawów. Każda kombinacja w zestawach przeznaczonych do sprzedaży występuje pojedynczo co oznacza że maksymalna liczba losów to 1 352 078 sztuk. Oznacza to stałą liczbę wygranych przy sprzedaży 100% zestawów. Do wygranej najniższego stopnia potrzebne są 8 trafionych liczb. Podobnie jak w grze Multi Multi oraz Lotto plus wygrane są stałe i są niezależne od puli. Cena jednego losu to 2zł a główna wygrana to 250 000 zł.

    Utrata cyfr znaczących to zjawisko pojawiające się w obliczeniach komputerowych, konsekwencja zapisu liczb rzeczywistych w komputerze. Występuje ona podczas odejmowania liczb, których różnica jest znacznie mniejsza niż każda z tych liczb. Słaba hipoteza Goldbacha to przypuszczenie w teorii liczb, które mówi, że każda liczba naturalna nieparzysta i większa od 7 jest sumą trzech nieparzystych liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

    Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).

    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

    W teorii liczb funkcją arytmetyczną nazywamy dowolną funkcję f określoną na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb zespolonych: Liczba taksówkowa – w matematyce, enta liczba taksówki, zwykle oznaczana Ta(n) albo Taxicab(n), jest zdefiniowana jako najmniejsza liczba, która może być wyrażona jako suma dwóch sześcianów na n różnych sposobów. G. H. Hardy i E. M. Wright udowodnili w 1954, że takie liczby istnieją dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n. Jednakże dowód nie pomaga w wyznaczaniu kolejnych liczb Ta(n). Do tej pory znanych jest dwanaście kolejnych liczb taksówkowych.

    Dodano: 04.08.2011. 18:32  


    Najnowsze