• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Metody obliczania sum skończonych

    29.01.2011. 19:20
    opublikowane przez: Przemysaw Szydzik

    Dowody związane z twierdzeniami o liczbach naturalnych niewątpliwie przywołują na myśl zasadę indukcji matematycznej. Jest to wygodne narzędzie, które pozwala uzasadnić nawet dość skomplikowane zależności. Aby skorzystać z tej zasady musimy jednak znać treść twierdzenia. Spostrzeżenie na pierwszy rzut oka wygląda na banalne, jednak chwila refleksji pozwoli dostrzec również sytuację, w której to chcemy właśnie odkryć wzór ogólny. Wówczas zasada indukcji matematycznej jest narzędziem weryfikującym poprawność naszych przekształceń. Tym razem opowiemy o tych właśnie przekształceniach prowadzących do uzyskania nieznanej nam tezy.


    Problem #1
    Znaleźć ogólny wzór na sumę

    Zapiszmy tę sumę w sposób jawny i zauważmy, że


    Aby znaleźć wzór na sumę musimy znać wzór na sumę Oznaczmy ją przez
    Jednocześnie Dodając obie sumy otrzymujemy


    Stąd

    Powyższy wzór i rozumowanie do niego prowadzące powszechnie przypisywane jest młodemu Gaussowi. Teraz już łatwo wyznaczyć wzór ogólny na sumę



    Problem #2
    Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie różnicy to znaczy dla
    Wyznaczmy wzór na początkowych wyrazów tego ciągu.

    Oznaczmy Mamy



    Wykorzystajmy wzór na dla -wyrazów z Problemu #1:


    Wykorzystując wzór na -ty wyraz ciągu otrzymujemy



    Problem #3
    Dany jest ciąg geometryczny o ilorazie , to znaczy dla
    Wyznaczmy wzór na początkowych wyrazów tego ciągu.

    Niech Mamy

    Stąd

    Wyznaczmy różnicę

    Przekształćmy tę równość względem



    Problem #4
    Wyznaczymy teraz wzór na sumę

    Zapiszmy sumę przy pomocy symbolu sumy:


    Zastosujemy sztuczkę często spotykaną przy różnych okazjach. Zapiszemy jako . To banalne w swojej prostocie przekształcenie wzoru pozwoli na wyznaczenie wzoru szukanej sumy. Mamy



    Wobec powyższego




    Problem #5
    Znajdziemy i sprawdzimy wzór na sumę

    Zapiszmy za pomocą znaku sumy i przekształćmy.


    Zatem


    Dostaliśmy więc szukany wzór. Zapiszmy tę obserwację w formie twierdzenia, które uzasadnimy korzystając z zasady indukcji matematycznej. Będzie to forma sprawdzenia czy nie pomyliliśmy się w rachunkach.

    Twierdzenie brzmi: Niech będzie liczbą naturalną większą od 1. Wówczas

    Sprawdzamy prawdziwość tezy dla 2

    Załóżmy teraz, że teza jest prawdziwa dla pewnej liczby naturalnej , to znaczy zachodzi wzór

    Sprawdzimy czy przy tym założeniu prawdziwa jest teza dla .

    Korzystając z założenia indukcyjnego mamy

    Jeśli wykażemy, że powyższa suma wynosi , to będzie to koniec dowodu. Istotnie tak jest, ponieważ

    Tym samym potwierdziliśmy prawdziwość wyprowadzonego przez nas wzoru.


    Na podstawie: Witold Bednarek, Bez indukcji, Matematyka nr 1, 2008, s. 36-38.

    Czy wiesz ĹĽe...? (beta)

    Wzór jawny - wzór matematyczny na wartość wyrazów ciągu lub wartości funkcji zależny bezpośrednio od numeru wyrazu ciągu, lub argumentów funkcji.

    Wzór Wallisa - rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa. Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby "szybciej zbieżne". Wzór Wallisa ma postać:

    Wzór Wallisa - rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa. Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby "szybciej zbieżne". Wzór Wallisa ma postać:

    Dyskretny problem plecakowy (ang. discrete knapsack problem) jest jednym z najczęściej poruszanych problemów optymalizacyjnych. Nazwa zagadnienia pochodzi od maksymalizacyjnego problemu wyboru przedmiotów, tak by ich sumaryczna wartość była jak największa i jednocześnie mieściły się w plecaku. Przy podanym zbiorze elementów o podanej wadze i wartości, należy wybrać taki podzbiór by suma wartości była możliwie jak największa, a suma wag była nie większa od danej pojemności plecaka.

    Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

    Wzór barometryczny – wzór określający zależność między wysokością w polu grawitacyjnym h liczoną od poziomu odniesienia, a ciśnieniem atmosferycznym p

    Parzenica – sercowaty wzór charakterystyczny dla zdobnictwa góralskiego. Parzenice wyszywane są na góralskich spodniach, czyli portkach. Początkowo stosowane dla wzmocnienia materiału w miejscach narażonych na wzmożone przecieranie.

    Dodano: 29.01.2011. 19:20  


    Najnowsze