• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Problem sprawiedliwego podziału

    10.06.2009. 21:33
    opublikowane przez: Przemysaw Szydzik

    Punktem wyjścia omawianego tematu będzie dobrze znane rodzicielskie rozwiązanie problemu, polegającego na podzieleniu ciasta pomiędzy dwoje dzieci tak, aby każde czuło, że jest traktowane sprawiedliwie. Strategia podziału gwarantuje im satysfakcje, bez względu na to, jaki ruch wykona każde z nich. Polega ona na tym, że jedno z dzieci dzieli ciasto na dwie czśści, które uważa za równe, drugie zaś wybiera ta, która uważa za większa. Strategie te nazywamy “Cut-And-Choose".
    Cut-and-Choose

    Krok 1. Gracz pierwszy dzieli ciasto na dwie części, które uważa za równe.
    Krok 2. Gracz drugi wybiera ta cześć, którą uważa za większą.

    Przy takim postępowaniu strategia gracza 1 gwarantuje mu kawałek stanowiący dokładnie 1/2 całości, wg jego miary, podczas gdy gracz drugi również otrzyma część, która jest przynajmniej 1/2 całości. Procedura ta spełnia dwie ważne własności:
    (i) proporcjonalność: każdy gracz ma zagwarantowana przynajmniej 1/2 całości wg jego subiektywnej miary (ogólnie: 1/n)
    (ii) “brak zazdrosci": każda osoba otrzymuje kawałek, którego nie zamieniłaby z żadna z pozostałych osób.

    Ogólna wersja obejmuje n graczy, z których każdy ma swoje preferencje co do części ciasta. Łatwo zauważyć, ze każdy podział “bez zazdrosci" jest proporcjonalny, ale dla n > 2 przeciwna implikacja nie jest prawdziwa. Wystarczy rozważyć to dla 3 graczy. Każda z trzech osób może myśleć, że posiada kawałek, stanowiący przynajmniej 1/3 całości, ale może być tez osoba, która uważa, ze ktoś inny ma większą część. Sformułowanie i rozwiązanie problemu podziału dla 3 osób zawdzięczamy polskiemu matematykowi Steinhausowi.

    Protokół proporcjonalny dla n = 3 (Steinhaus, ok 1943)

    Krok 1. Gracz 1 dzieli ciasto na 3 części, które uważa za równe.
    Krok 2. Gracz drugi ma dwie opcje:
    (i) spasować, jeśli uważa, że przynajmniej dwa kawałki są większe lub równe od 1/3 wg jego miary
    (ii) może dwóm kawałkom, które uważa za mniejsze od 1/3 , nadać etykietę “złych"
    Krok 3. Jeśli gracz 2 spasował w Kroku 2, to gracze w kolejności 3, 2, 1 wybierają po kawałku, który wg ich miary stanowi przynajmniej 1/3 całości. W tym przypadku każdy gracz otrzymuje kawałek większy lub równy od 1/3 całości. Istotnie:
    (1) Gracz 3 wybiera pierwszy
    (2) Gracz 2 twierdzi, ze dwa lub trzy kawałki są odpowiedniej wielkości, wiec przynajmniej jeden z nich będzie ciągle osiągalny.
    (3) Gracz 1 sam dzielił ciasto, wiec uważa wszystkie kawałki za równe.
    Krok 4. Jeśli gracz 2 nie spasował w Kroku 2 to graczowi 3 dawany jest taki sam wybór opcji i) oraz ii) jak graczowi 2 w Kroku 2, przy czym ignoruje on etykiety nadane przez gracza 2.
    Krok 5. Jeśli gracz 3 spasuje w Kroku 4 to gracze w kolejności 2, 3, 1 wybierają po kawałku. W tym przypadku, tak jak poprzednio, każdy otrzymał przynajmniej 1/3 całości.
    Krok 6. Jeśli gracz 3 nie spasował, to od gracza 1 wymaga się, aby wybrał kawałek określony jako “zły" przez pozostałych graczy. Zauważmy, ze naturalnie musi znaleźć się taki kawałek.
    Krok 7. Pozostałe dwa kawałki są ponownie łączone. Przeprowadzamy procedurę “Cut-and-Choose" dla graczy 2 i 3.
    To kończy protokół.

    Metody Steinhausa nie można uogólnić dla większej liczby osób. Jednak algorytm zaproponowany przez Banacha i Knastera rozwiązuje ten problem. Wprowadza on też idę przycinania, wykorzystywana później w protokołach “bez zazdrości".

    Proporcjonalny protokół dla dowolnego n. (Banach - Knaster, ok. 1944)

    Krok 1. Gracz 1 odkraja kawałek , o rozmiarze .
    Krok 2. Graczowi 2 dawany jest wybór:
    (i) spasować, jeśli uważa, że kawałek jest mniejszy od
    (ii) przyciąć aby stworzyć mniejszy kawałek, który jego zdaniem jest równy . Kawałek , teraz prawdopodobnie przycięty, nazywamy . Przycięcia odkładamy na bok.
    Krok 3. Dla gracz i-ty bierze kawałek i postępuje dokładnie jak gracz 2 w drugim kroku. Otrzymany w rezultacie kawałek nazywamy .

    Uwaga: Dla gracz i-ty twierdzi, ze jest mniejszy lub równy . Ponadto mamy, że . Tak więc, każdy z graczy uważa, ze Pn jest co najwyżej równy

    Krok 4. Gracz n-ty, jeśli przycinał, lub gracz 1, jeśli nikt inny nie przycinał, otrzyma .

    Uwaga: Gracz, który otrzymał uważa, ze jest on równy .

    Krok 5. Przycięcia są zebrane i kroki 1-4 powtarzamy dla reszty ciasta i pozostałych (n-1) graczy (zamiast n graczy, ponieważ jeden z nich już otrzymał ciasta).

    Uwaga: Gracz, który otrzymał kawałek w tym drugim etapie dostaje dokładnie z reszty ciasta. On i pozostali gracze uważają, ze ta reszta stanowi przynajmniej całości, stąd sam gracz otrzymał kawałek nie mniejszy niż .

    Krok 6. Krok 5 iteracyjnie powtarzamy, aż liczba graczy zmniejszy się do 2. Dla nich przeprowadzamy procedurę “cut-and-choose".

    Uwaga: Wcześniej każdy gracz otrzymał kawałek o rozmiarze przynajmniej

    Autor: Magda Dobrzeniecka*

    *Autorka jest studentką IV roku zastosowań matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu.

    Czy wiesz ĹĽe...? (beta)
    Chomp jest grą dla dwóch graczy, w której gra się na prostokątnej "tabliczce czekolady", która dzieli się na mniejsze, kwadratowe kostki. Gracz podczas ruchu musi wybrać jedną z kostek i "zjeść ją", tj. usunąć ją z planszy razem z tymi poniżej i na prawo od niej. Kostka w lewym górnym rogu jest zatruta – ten gracz, który ją weźmie, przegrywa. Wąż to gra komputerowa, która została wydana w połowie lat siedemdziesiątych XX. wieku, zyskując wielką popularność. W grze gracz kontroluje długie i cienkie stworzenie, podobne do węża, które porusza się po obramowanej planszy zbierając jedzenie (lub inne przedmioty), próbując nie uderzyć własną głową o "ściany" otaczające planszę gry, a także o część własnego ciała. Kiedy "wąż" zje kawałek jedzenia, jego ogon robi się coraz dłuższy, co utrudnia grę. Gracz kontroluje kierunek ruchu "węża" za pomocą klawiszy strzałek (góra, dół, lewo, prawo). Gracz nie może zatrzymać "węża", gdy gra jest w toku. Wąż może składać jaja, które są dodatkowymi przeszkodami. Kawałek po kawałku - drugi album muzyczny grupy Goya z roku 2003. Promowały go trzy single: Będę się starać, Jeśli będę taka oraz piosenka tytułowa Kawałek po kawałku.

    Equal offense jest grą bilardową wywodzącą się z Czternaście plus jeden. Każdy gracz dostaje dziesięć tur z rzędu. Oznacza to, iż najpierw podchodzi gracz pierwszy, wykonuje dziesięć tur, a następnie drugi i wykonuje swoje dziesięć. Za faul nie odejmuje się punktu. Po faulu następuje koniec tury, a gracz otrzymuje bilę rozgrywającą do umieszczenia w "kuchni". Kolekcjonerskie gry karciane (pot. karcianki, z ang. collectible card games (CCG) lub trading card games (TCG)) – gry, w których każdy z graczy korzysta z osobistej talii specjalnie przeznaczonych dla danej gry kart. Gra jest dwu- lub wieloosobowa.

    Kawałek Kulki - jest to pierwszy album studyjny zespołu Kawałek Kulki, wydany w 2007 roku, poprzedzony 3 EP. Z albumu wyszedł singiel pt. Kolegi Tata Czwórki (en. Connect Four) – planszowa gra logiczna dla dwóch osób, w której wykorzystuje się planszę o wymiarach 7 x 6 pól. Pierwszy gracz wrzuca swój żeton do wybranej przez niego kolumny. Żeton zajmuje najniższą pozycję. Gracze wrzucają swoje żetony na przemian, aż jeden z nich ułoży cztery żetony w poziomie, pionie lub ukosie. Wygrywa ten gracz, który zrobi to jako pierwszy. Jeżeli natomiast plansza się zapełni, a nie utworzy się żadna czwórka, jest remis. Gra jest też znana jako 4 wygrywa, four.

    W teorii gier, strategia to plan działania gracza opisujący jego zachowanie w każdej możliwej sytuacji. Strategia w pełni określa akcję (ruch), którą gracz podejmie w danej sytuacji, na każdym etapie gry, dla każdej możliwej historii prowadzącej do tej sytuacji. Foursome jest formatem gry w golfa, w którym biorą udział dwie dwuosobowe drużyny. Zawodnicy z danej drużyny na każdym dołku wykonują uderzenia naprzemiennie używając jednej wspólnej piłki. Uderzenia z tee są również wykonywane na zmianę przez obu graczy w oparciu o podział parzyste dołki: gracz A, nieparzyste dołki: gracz B. Foursome najczęściej spotyka się jako odmianę gry match play, ale można ją stosować także w przypadku gry stroke play. Najbardziej znane turnieje wykorzystujące ten format to Ryder Cup, Solheim Cup, Presidents Cup, czy też Lexus Cup.

    Gracz w grze fabularnej – osoba, która bierze czynny udział w sesji prowadzonej przez mistrza gry w wytworzonym przez niego, zazwyczaj w oparciu o jakiś podręcznik, wyobrażonym świecie. Każdy gracz w świecie gry zazwyczaj steruje swoim bohaterem, którego sam tworzy, a także za którego mówi i podejmuje wszystkie decyzje. Określenie gracz dotyczy tylko osób prowadzonych podczas sesji przez mistrza gry, wyłączając jego samego. Mistrz gry także w innym czasie może być graczem uczestniczącym w podobnych lub innego typu sesjach. Graczem nazywa się także osobę, która grywa w gry fabularne.

    Crazy Machines - logiczna gra komputerowa. Gracz ma zbudować z pewnych części maszynę, która wykona określoną czynność. Jako części wykorzystywane są m.in. przełączniki, piłki i kable oraz liny, ale można też wykorzystać toster. Gracz może również budować maszyny według własnych pomysłów.

    Ricochet - gra sportowa, stanowiąca odmianę squasha (różnica: w ricochecie gracz może zagrywać piłkę o sufit). W grze bierze udział dwóch zawodników wyposażonych w specjalne rakietki. Kolor piłki używany przez graczy uzależniony jest od stopnia ich zaawansowania. Wygrywa gracz, który zwycięży w trzech setach (zasada best-of-five). Wymiary kortu: 8,0 m długość, 5,5 m szerokość, 2,7 m wysokość. Gry bitewne – odmiana standardowych gier planszowych. Gracze dysponują określoną liczbą różnych jednostek. Rozgrywka dzieli się na tury, w trakcie których gracze w ustalonej kolejności wykonują ruchy. Każdy rodzaj jednostki dysponuje odmiennymi atrybutami, takimi jak szybkość poruszania się (zależy od niej zazwyczaj odległość ruchu), szansa obrony, szansa na atak oraz obrażenia. Kwestie losowe rozstrzygane są za pomocą przypisanego do danej gry rodzaju kostek. W niektórych grach poszczególne postacie tego samego rodzaju różnią się umiejętnościami, zdobywanymi w trakcie walki.

    Wikipedystka:IsadoraDeWitch/brudnopis4 Backgammon/Chouette: Chouette (z fr. Sowa), to odmiana backgammona dla więcej niż dwóch graczy. Istnieje wiele zasad gry w tę właśnie odmianę, dlatego osoby, które chcą się przyłączyć do gry, powinny najpierw zapoznać się z obowiązującymi przy danym stole wymaganiami. W tym artykule przedstawione zostaną podstawowe zasady gry w Sowę, gry w wielu aspektach bezwględnej, dla niektórych pewnie nie zawsze do końca uczciwej, ale na pewno atrakcyjnej i zupełnie innej niż gra w dwójkę. Przed rozpoczęciem gry, każdy z graczy rzuca jedną kostką i ten, który wyrzuci najwięcej oczek zostaje tzw. Boxem i będzie grać przeciwko drużynie. Gracz, który wyrzucił najwięcej oczek spośród pozostałych osób, zostaje Kapitanem drużyny. Zadaniem kapitana jest rzucanie kości i wykonywanie ruchu drużyny. Hierarchia drużyny jest ustalana również według ilości wyrzuconych oczek. W przypadku remisu, powtarza się rzut. Tak więc po losowaniu mamy następującą sytuację: po jednej stronie planszy jest Box, a po drugiej Kapitan, Gracz 1, Gracz 2, Gracz 3 itd. Jeżeli w grze bierze udział więcej niż osiem osób. Box może wybrać sobie partnera do gry. Partnerstwo takie oferuje się najpierw Kapitanowi, a potem kolejnym graczom. Jeśli nikt nie przyjmie oferty, partnera można wylosować spośród graczy, omijając przy tym kapitana. W Sowie obowiązują standardowe reguły gry z uwzględnieniem zasady Jacoby’ego, która mówi, że nie można wygrać gammonem lub backgammonem dopóki kostka dublująca nie znajdzie się w grze. Trzeba tu zauważyć, że Sowa jest zazwyczaj grana na pieniądze, zasada Jacoby’ego pozwala przyspieszyć grę, jak również eliminuje ryzyko wysokich przegranych w momencie, gdy jeden z przeciwników już na początku gry uzyskał sporą przewagę. W tym momencie (mając świadomość, że gammonem może wygrać tylko jeśli zdubluje) gracz z przewagą używa kostki dublującej, co jego przeciwnik może i powinien odrzucić, oddając graczowi z przewagą tylko jeden punkt. Wróćmy jednak do naszych graczy. Załóżmy, że przeciwko Boxowi gra Kapitan i pięciu graczy. Co się dzieje po zakończeniu gry. Jeśli Box wygra, zostaje na swoim miejscu, a Kapitan wędruje na koniec kolejki i staje się graczem numer pięć. Z kolei gracz numer jeden staje się Kapitanem. Natomiast jeśli Box przegra, wędruje on na koniec kolejki i staje się graczem numer pięć, a Kapitan staje się Boxem. Jeśli gra toczy się na pieniądze, przegrany Box wypłaca uzgodnioną wcześniej stawkę każdemu graczowi z drużyny przeciwnej. Jeśli Box wygra, każdy z przeciwników płaci jemu. Gracze mogą przyłączać i odłączać się od gry w dowolnym momencie. Gracz przyłączający się do gry zawsze siada na końcu kolejki. W zależności od ustaleń przed rozpoczęciem gry drużyna może lub nie może konsultować ruchy wykonywane przez Kapitana. Często gracze decydują się na kompromis w postaci konsultacji tylko po użyciu kostki dublującej. Kolejna dowolność ustaleń dotyczy ilości kostek dublujących w grze. Może to być jedna kostka. Wtedy drużyna ma prawo rozważać indywidualnie tylko duble zaoferowane przez Boxa. Natomiast oferty podwojenia ze strony drużyny leżą w wyłącznej gestii Kapitana. Jeśli Box podwaja, każdy z graczy może indywidualnie zdecydować, czy przyjmie czy odrzuci dubla. Ci, którzy odrzucą, wypłacają Boxowi należną stawkę i nie biorą udziału w dalszej części gry. Jeśli Kapitan odrzuci dubla, a wśród graczy znajdą się tacy, którzy przyjmą podwojenie, Kapitan zostanie przeniesiony na koniec kolejki i utraci stanowisko kapitańskie na rzecz jednego z pozostających w grze graczy. W przypadku, gdy tylko jeden z graczy chce przyjąć podwojenie Boxa, a w grze jest minimum pięciu graczy przeciwko Boxowi, to większość graczy wymusza decyzję i pojedynczy głos, chcący przyjąć dubla się nie liczy a drużyna rezygnuje. Inna popularna zasada mówi, że pojedyczny gracz, który chce przyjąć dubla Boxa, musi też przyjąć dodatkową kostkę dublującą o wartości 2 od dowolnego gracza drużyny, który chce mu zapłacić stawkę za jeden punkt. Gracz przyjmujący staje się teraz właścicielem dwóch kostek dublujących, których może użyć indywidualnie do kontrowania i jeśli wygra, zdobędzie stawkę za obydwie kości, a jeśli przegra, będzie musiał zapłacić podwójnie. W Sowę można też grać z większą ilością kostek dublujących. Każdy gracz z drużyny posiada wtedy własną kostk. Box może zaproponować dubla każdemu z graczy osobno i każdy z graczy może indywidualnie podjąć decyzję, kiedy zaproponować podwojenie Boxowi. Przy większej ilości kostek dublujących możliwe są sytuacje, gdzie Box wygrywa przeciw niektórym graczom, a przegrywa z innymi. Pojawia się pytanie, kiedy Box traci swoją pozycję? Naturalnie tylko wtedy, gdy przegra z Kapitanem. Każdy klub lub stowarzyszenie opracowuje swoje własne szczegółowe zasady gry w Sowę. Przy planowaniu rozgrywek Sowy, można m.in. skorzystać z zasad opracowanych przez Stowarzyszenie Backagammona z Atlanty (Atlanta Backgammon Association). Player versus player (PvP; ang. gracz kontra gracz, gracz na gracza, GnG) – rodzaj interakcji w grach typu MMORPG, MUD, RPG pozwalającej na rywalizację pomiędzy dwoma lub więcej graczami. PvP niekoniecznie polega na zabiciu postaci innego gracza. Są różne rodzaje PvP, np. urozmaicające rozgrywkę i nadanie klimatu gry (World of Warcraft, Lineage itp.) oraz na większą skalę, gdzie rywalizuje ze sobą wielu graczy o różne nagrody (Guild Wars, World of Warcraft).

    Dodano: 10.06.2009. 21:33  


    Najnowsze