• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Urodziny okiem matematyka

    25.05.2011. 20:26
    opublikowane przez: Przemysaw Szydzik

    Spróbujmy przyjrzeć się urodzinowym konsekwencjom z punktu widzenia matematyki. Żeby zrobiło się już na początku bardzo matematycznie, postulujemy założenie, że rok ma 365 dni. Z góry przepraszamy wszystkich urodzonych 29-go lutego. Żeby zrobiło się przy tym bardziej przystępnie wymyślmy sobie ... Janka, który będzie nam towarzyszył przez cały ten tekst.

    Jaś na swoje dwudzieste urodziny dostał bilet na mecz na stadionie narodowym. Mecz odbywał się w dniu jego urodzin, więc Janek pomyślał " ciekawe czy jest jeszcze ktoś, kto obchodzi dziś na stadionie swoje urodziny?
    Szybko zrozumiał, że nie uzyska odpowiedzi na to pytanie, bo przecież musiałby poznać datę urodzin każdego kibica na stadionie. Mógłby co najwyżej policzyć prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, ale to nie jest takie łatwe...

    Szybko jednak znalazł odpowiedź na inne pytanie:

    Czy znalazłyby się osoby mające urodziny tego dnia, gdyby mecz był rozgrywany innego dnia?


    Odpowiedź Janka była natychmiastowa - oczywiście, że tak.
    Zakładając, że na stadionie jest komplet (z resztą nawet dla pojemności też by tak było), czyli 90000 osób (kolejne założenie, jak na tekst matematyczny przystało) to na pewno dwie muszą mieć urodziny tego samego dnia. Więcej, musi być ich co najmniej 247 !

    Skąd to wiadomo?
    Wyobraźmy sobie, że kibice na stadion przechodzą przez 365 bramek zgodnie z dniem urodzenia (tutaj korzystamy z założenia). Ile minimalnie osób przejdzie przez jedną, dowolnie wybraną bramkę? Na pewno będzie to część całkowita z dzielenia , czyli 246. Zostaje jednak osób, które przejdą przez wybrane bramki. Przynajmniej przez jedną bramkę przejdzie więc 247 osób, stąd wynik.

    To było proste, ale Janek nadal nie wiedział, jaka jest szansa na to, żeby na stadionie ktoś jeszcze obchodził razem z nim tego dnia urodziny. Może łatwiej będzie rozwiązać inny problem:

    Ilu kibiców musiałoby być na stadionie, żeby przynajmniej dwóch z nich miało urodziny tego samego dnia z prawdopodobieństwem większym niż ?

    Janek wyjął kartkę i zaczął pisać. Oznaczmy:

    " zbiór kibiców na stadionie,
    " zbiór dni w roku.

    Pytanie jest następujące: dla jakiej liczby kibiców prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dwóch kibiców ma urodziny tego samego dnia jest większe niż .

    Ustalmy funkcję , która przyporządkowuje kibicowi dzień, w którym się urodził.
    Na przykład oznacza, że kibic "numer 10" urodził się 3-go dnia roku.

    Zatem zdarzenie polega na tym, że

    Trudno liczy się prawdopodobieństwo tak skonstruowanych zdarzeń, ale znacznie łatwiej policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego , które polega na tym, że żadnych dwóch kibiców nie urodziło się tego samego dnia, czyli


    Oczywiście można przy tym skorzystać ze wzoru: . Przy tym moc zbioru jest równa .

    Gdybyśmy pytali każdą osobę o datę urodzin, to każda kolejna musiałaby mieć inny dzień urodzenia niż dotychczasowo sprawdzane (przy zdarzeniu ), więc miała by tyle dni "do wyboru" mniej, ile osób dotąd zapytaliśmy. Stąd


    Trzeba zatem sprawdzić kiedy


    Tutaj rozważania przerwał pierwszy gwizdek, rozpoczynający mecz...

    Po powrocie do domu niedosyt pozostał i choć nie udało się ręcznie wyznaczyć minimalnej liczby kibiców, Janek się nie poddawał. Z pomocą przyszedł dobrze znany arkusz kalkulacyjny. Odpowiednie zastosowanie funkcji ILOCZYN pozwoliło w automatyczny sposób wyznaczyć minimalną liczbę kibiców, wśród których dwóch urodziło się tego samego dnia.

    Wynik bardzo go zadziwił " wystarczyłoby zaledwie 23 kibiców, aby prawdopodobieństwo wynosiło ponad 0,5! Nawet matematyka potrafi czasem zaskakiwać - pomyślał. Szybko narysował wykres, żeby przyjrzeć się "jak szybko" rośnie prawdopodobieństwo.



    Janek raz jeszcze spojrzał na wzór i zauważył, że można go zapisać w innej, ciekawej formie:


    Po kilku przeliczeniach zobaczył, że dla 50 osób osób wynik jest bardzo interesujący.

    Ciekawskiego czytelnika serdecznie namawiamy do sprawdzenia, co się dzieje i jakie to może przynieść korzyści osobie znającej taką prawidłowość.

    Czy wiesz ĹĽe...? (beta)

    Pytanie stawiane w paradoksie dnia urodzin brzmi: Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 0,5.

    Pytanie stawiane w paradoksie dnia urodzin brzmi: Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 0,5.

    Prawdopodobieństwo obiektywne to interpretacja teorii prawdopodobieństwa, według której wartość prawdopodobieństwa danego zdarzenia jest granicą stosunku liczby "sukcesów" do liczby "losowań".

    Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp stwierdza, że małpa naciskająca losowo klawisze maszyny do pisania przez nieskończenie długi czas, prawie na pewno napisze dowolnie wybrany tekst, taki jak na przykład kompletny dorobek Williama Szekspira. W tym kontekście „prawie na pewno” należy traktować ściśle z matematycznego punktu widzenia (zdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo równe zeru, jednak nie jest zdarzeniem niemożliwym), a „małpa” jest jedynie metaforą dla abstrakcyjnego urządzenia generującego nieskończony losowy ciąg liter. Twierdzenie ilustruje zagrożenia płynące z postrzegania nieskończoności jako olbrzymiej, ale skończonej liczby, a także z rozumowania odwrotnego – postrzegania dużej liczby jako nieskończoności. Prawdopodobieństwo napisania przez małpę zadanego tekstu, złożonego z dużej liczby znaków, jak na przykład Hamlet, jest tak małe, że szansa wystąpienia zadanego ciągu znaków nawet w czasie rzędu wieku wszechświata jest znikoma.

    Prawdopodobieństwo subiektywne to interpretacja prawdopodobieństwa, według której prawdopodobieństwo nie musi być wielkością obiektywną, lecz może być określone na podstawie subiektywnej opinii osoby, zależnie od dostępnych jej aktualnie danych.

    Urodziny – zwyczaj świątecznego obchodzenia (czasami hucznego) rocznicy dnia, w którym ktoś się urodził. Zwykle wiąże się ze składaniem życzeń i wręczaniem prezentów solenizantowi.

    Prawdopodobieństwo a priori to prawdopodobieństwo obliczane przed realizacją doświadczenia losowego, czyli klasyczne prawdopodobieństwo, w odróżnieniu od prawdopodobieństwa a posteriori, obliczanego na podstawie wyników doświadczenia, czyli częstości.

    Dodano: 25.05.2011. 20:26  


    Najnowsze