Urodziny okiem matematyka :: Artykuły / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

Status CUDA Research Center dla Politechniki Gdańskiej

Tygodniowe obchody Europejskiego Dnia Języków

Konferencja bioetyczna z okazji Dnia Papieskiego na UMK

Warszawskie obchody Światowego Dnia Mokradeł

Wystawa roślin mięsożernych z okazji Dnia Roślin

Infolinia nt. pneumokoków z okazji I Ogólnopolskiego Dnia Szczepień

Spróbujmy przyjrzeć się urodzinowym konsekwencjom z punktu widzenia matematyki. Żeby zrobiło się już na początku bardzo matematycznie, postulujemy założenie, że rok ma 365 dni. Z góry przepraszamy wszystkich urodzonych 29-go lutego. Żeby zrobiło się przy tym bardziej przystępnie wymyślmy sobie ... Janka, który będzie nam towarzyszył przez cały ten tekst.

Jaś na swoje dwudzieste urodziny dostał bilet na mecz na stadionie narodowym. Mecz odbywał się w dniu jego urodzin, więc Janek pomyślał – ciekawe czy jest jeszcze ktoś, kto obchodzi dziś na stadionie swoje urodziny?
Szybko zrozumiał, że nie uzyska odpowiedzi na to pytanie, bo przecież musiałby poznać datę urodzin każdego kibica na stadionie. Mógłby co najwyżej policzyć prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, ale to nie jest takie łatwe...

Szybko jednak znalazł odpowiedź na inne pytanie:

Czy znalazłyby się osoby mające urodziny tego dnia, gdyby mecz był rozgrywany innego dnia?

Odpowiedź Janka była natychmiastowa - oczywiście, że tak.
Zakładając, że na stadionie jest komplet (z resztą nawet dla $\fs2 1/200$ pojemności też by tak było), czyli 90000 osób (kolejne założenie, jak na tekst matematyczny przystało) to na pewno dwie muszą mieć urodziny tego samego dnia. Więcej, musi być ich co najmniej 247 !

Skąd to wiadomo?
Wyobraźmy sobie, że kibice na stadion przechodzą przez 365 bramek zgodnie z dniem urodzenia (tutaj korzystamy z założenia). Ile minimalnie osób przejdzie przez jedną, dowolnie wybraną bramkę? Na pewno będzie to część całkowita z dzielenia $\fs290000/365$ , czyli 246. Zostaje jednak $\fs2 90000-(365 \cdot 246)=210$ osób, które przejdą przez wybrane bramki. Przynajmniej przez jedną bramkę przejdzie więc 247 osób, stąd wynik.

To było proste, ale Janek nadal nie wiedział, jaka jest szansa na to, żeby na stadionie ktoś jeszcze obchodził razem z nim tego dnia urodziny. Może łatwiej będzie rozwiązać inny problem:

Ilu kibiców musiałoby być na stadionie, żeby przynajmniej dwóch z nich miało urodziny tego samego dnia z prawdopodobieństwem większym niż $\fs2 \frac{1}{2}$ ?

Janek wyjął kartkę i zaczął pisać. Oznaczmy:

$\{n_1, \dots,n_s\}$ – zbiór kibiców na stadionie,
$\{1, \dots,365\}$ – zbiór dni w roku.

Pytanie jest następujące: dla jakiej liczby kibiców $\fs2 s>1$ prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dwóch kibiców ma urodziny tego samego dnia jest większe niż $\fs2 \frac{1}{2}$ .

Ustalmy funkcję $\fs2 f:\{n_1, \dots, n_s\} \to \{1, \dots, 365\}$ , która przyporządkowuje kibicowi dzień, w którym się urodził.
Na przykład $f(n_{10})=3$ oznacza, że kibic „numer 10” urodził się 3-go dnia roku.

Zatem zdarzenie $\fs2 A$ polega na tym, że

$\exist_{k,l \in\{1, \dots, s\}}\quad f(n_k)=f(n_l).$

Trudno liczy się prawdopodobieństwo tak skonstruowanych zdarzeń, ale znacznie łatwiej policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $\fs2 A^c$ , które polega na tym, że żadnych dwóch kibiców nie urodziło się tego samego dnia, czyli

$\forall_{i,j \in \{1, \dots, s\}}\quad f(n_i) \neq f(n_j).$

Oczywiście można przy tym skorzystać ze wzoru: $\fs2 P(A)=1-P(A^c)$ . Przy tym moc zbioru $\fs2 \Omega$ jest równa $\fs2 365^s$ .

Gdybyśmy pytali każdą osobę o datę urodzin, to każda kolejna musiałaby mieć inny dzień urodzenia niż dotychczasowo sprawdzane (przy zdarzeniu $\fs2 A^c$ ), więc miała by tyle dni "do wyboru" mniej, ile osób dotąd zapytaliśmy. Stąd

$P(A^c)=\frac{365 \cdot (365-1) \cdot (365-2) \cdot \dots \cdot (365-(s-1))}{365^s}=\prod_{k=0}^{s-1} \frac{(365-k)}{365^s}.$

Trzeba zatem sprawdzić kiedy

$P(A)=1-\prod_{k=0}^{s-1} \frac{(365-k)}{365^s}\;>\;\frac{1}{2}.$

Tutaj rozważania przerwał pierwszy gwizdek, rozpoczynający mecz...

Po powrocie do domu niedosyt pozostał i choć nie udało się ręcznie wyznaczyć minimalnej liczby kibiców, Janek się nie poddawał. Z pomocą przyszedł dobrze znany arkusz kalkulacyjny. Odpowiednie zastosowanie funkcji ILOCZYN pozwoliło w automatyczny sposób wyznaczyć minimalną liczbę kibiców, wśród których dwóch urodziło się tego samego dnia.

Wynik bardzo go zadziwił – wystarczyłoby zaledwie 23 kibiców, aby prawdopodobieństwo wynosiło ponad 0,5! Nawet matematyka potrafi czasem zaskakiwać - pomyślał. Szybko narysował wykres, żeby przyjrzeć się "jak szybko" rośnie prawdopodobieństwo.

Janek raz jeszcze spojrzał na wzór i zauważył, że można go zapisać w innej, ciekawej formie:

$P(A)=1-\frac{365!}{365^s\cdot(365-s)!}$

Po kilku przeliczeniach zobaczył, że dla 50 osób osób wynik jest bardzo interesujący.

Ciekawskiego czytelnika serdecznie namawiamy do sprawdzenia, co się dzieje i jakie to może przynieść korzyści osobie znającej taką prawidłowość.

komentuj publikację

Czy wiesz że...?

wersja BETA

Pytanie stawiane w paradoksie dnia urodzin brzmi: Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 0,5. pełny tekst

Supersłodkie urodziny to program rozrywkowy który polega na obserwowaniu nastolatków, którzy mogą zrobić wszystko aby ich własna impreza urodzinowa okazała się wydarzeniem sezonu. Rodzice bohaterów danego odcinka spełniają wszystko, co chcą ich dzieci, nawet jeśli oznacza to zaproszenie na imprezę znanej gwiazdy czy wynajęcie helikoptera. pełny tekst

3 World Trade Center wieżowiec, który jest obecnie w trakcie budowy, znajdujący się w dzielnicy Lower Manhattan na Manhattanie w Nowym Jorku w Stanach Zjednoczonych. Jest on jednym z czterech biurowców nowego kompleksu World Trade Center (obok 1 World Trade Center, 2 World Trade Center i 4 World Trade Center), który powstanie w miejscu zniszczonego kompleksu WTC w zamachach z 11 września. Budowa wieżowca rozpoczęła się w 2010 roku, zaś ukończenie jest planowane na 2014 rok. pełny tekst

Moduł "Czy wiesz że...?" (wersja testowa, beta): definicje/pojęcia wygenerowane w obrębie tego modułu pochodzą z Wikipedii i udostępniane są na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Dostęp do pełnej wersji każdego hasła (oraz dokładnch informacji na temat licencji, autora oraz edycji) możliwy jest po kliknięciu w odnośnik opisany jako "pełny tekst".